Täydellinen potilasnumero

Vakaa versio tarkistettiin 29.9.2022 . Malleissa tai malleissa on vahvistamattomia muutoksia .

Täydellinen kokonaisluku  on kokonaisluku , joka on yhtä suuri kuin sen iteroitujen totienttien summa (Euler-funktion arvot). Eli käytämme Euler-funktiota numeroon n ja peräkkäin kaikkiin tuloksena oleviin totienteihin, kunnes saavutamme luvun 1, lisäämällä tuloksena saadut luvut peräkkäin. Jos summa on n , niin n on täydellinen kokonaisluku. Algebrallisesti, jos

missä

rekursiivinen iteroitu Euler-funktio, ja c  on sellainen kokonaisluku, että

silloin n on täydellinen kokonaisluku.

Täydellinen kokonaisluku on määritelmän mukaan pariton .

Useita ensimmäisiä täydellisiä totienttinumeroita

3 , 9 , 15 , 27 , 39 , 81 , 111 , 183 , 243 , 255 , 327 , 363 , 471 , 729 , 2187 , 35 , 35, 35, 3219 sekvenssi A082897 OEIS : ssä ).

Esimerkiksi luvusta 327 alkaen laskemme φ(327) = 216, φ(216) = 72, φ(72) = 24, φ(24) = 8, φ(8) = 4, φ(4) = 2, φ(2) = 1, saamme 216 + 72 + 24 + 8 + 4 + 2 + 1 = 327.

Numerot, kuten a(n)=2^(2^n)-1

Useat muodon numerot ( OEIS järjestys A051179 ), kuten 255 , 65 535 , 4 294 967 295 ja 18 446 744 073 709 551 615 , ovat täydellisiä ja tien lisäksi numeroita. etumerkittömien kokonaislukujen enimmäismäärä , 8-, 16-, 32- ja 64-bittiset muuttujat. Saman sarjan aikaisemmat numerot 3 ja 15 ovat myös täydellisiä kokonaislukuja.

Kolminkertaisuuden asteet

Voidaan nähdä, että monet täydelliset kokonaisluvut ovat jaollisia kolmella. Itse asiassa luku 4375 on pienin täydellinen kokonaisluku, joka ei ole jaollinen kolmella. Kaikki 3:n potenssit ovat täydellisiä kokonaislukuja, jotka voidaan näyttää induktiolla käyttämällä tosiasia

Venkataraman (1975) löysi toisen täydellisten totienttilukujen perheen — jos p = 4×3 k +1 on alkuluku, niin 3 p on täydellinen kokonaisluku. K :n arvot johtavat täydellisiin kokonaislukuihin tällä tavalla:

0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, ... (sekvenssi A005537 OEIS : ssä ).

Yleisemmin ottaen, jos p on alkuluku , joka on suurempi kuin 3 ja 3 p on täydellinen kokonaisluku, niin p ≡ 1 (mod 4) [1] . Kaikki tämän tyyppiset p :t eivät johda täydellisiin kokonaislukuihin. Näin ollen 51 ei ole täydellinen kokonaisluku. Ianucci, Deng ja Cohen [2] osoittivat, että jos 9 p on täydellinen kokonaisluku, niin p on alkuluku ja sillä on yksi kolmesta paperissa luetellusta muodosta. Ei tiedetä, onko olemassa täydellisiä kokonaislukuja muotoa 3 k p , jossa p on alkuluku ja k > 3.

Muistiinpanot

  1. ↑ Mohan, Suryanarayana, 1982 , s. 101-105.
  2. ↑ Iannucci, Deng, Cohen, 2003 , s. 03.4.5.

Kirjallisuus

Huomautus : Alkuperäinen artikkeli sisältää materiaalia PlanetMathin Perfect Totient Number -artikkelista Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported -lisenssillä.