Kaksoistila
Duaaliavaruus (joskus kaksoisavaruus ) on lineaaristen funktionaalisten funktioiden avaruus tietyssä vektoriavaruudessa .
Määritelmä
Kaikkien topologiseen vektoriavaruuteen määriteltyjen jatkuvien lineaaristen funktionaalisten funktioiden joukko muodostaa myös vektoriavaruuden. Tätä tilaa kutsutaan dual to , se on yleensä merkitty . Kaikkien lineaaristen funktionaalisten joukkoa , joka ei välttämättä ole jatkuvaa, kutsutaan algebrallisesti konjugoiduksi funktioon , sitä merkitään yleensä [1] .
Siinä tapauksessa (jota yleensä tarkastellaan lineaarisessa algebrassa), kun vektoriavaruus on äärellisulotteinen, kaikki lineaarifunktiot ovat automaattisesti jatkuvia, ja kaksoisavaruus yksinkertaisesti koostuu kaikista lineaarisista funktioista (funktioista) . Tapauksessa (jota yleensä pidetään funktionaalisessa analyysissä), kun se on yleisesti ottaen ääretön [1] .
Tensorilaskennassa nimitystä käytetään elementeille (ylempi eli kontravariantti , indeksi) ja elementeille (alempi tai kovariantti , indeksi).
Kaksoiskartoitukset
Kaksoiskartoitus on lineaarinen kartoitus dataan liittyvien vektoriavaruuksien välillä, joka on indusoitu itse avaruuksien välisellä kartoituksella.
Olkoon vektoriavaruudet ja kaksoisvektoriavaruudet. Kaikille lineaarisille mappauksille kaksoiskartoitus (käänteisessä järjestyksessä) määritellään seuraavasti
mille tahansa .
Ominaisuudet
Äärillisulotteiset avaruudet [2]
- Kaksoisavaruudella on sama ulottuvuus kuin kentän päällä olevalla avaruudella . Siksi välilyönnit ja ovat isomorfisia .
- Jokainen avaruuskanta voidaan liittää ns. kaksois- (tai käänteis- ) avaruuskantaan , jossa funktionaali on projektio vektoriin :
- Jos avaruus on euklidinen eli skalaaritulo määritellään sille , niin välillä ja on ns. kanoninen isomorfismi (eli isomorfismi, joka ei riipu valituista emäksistä), jonka määrittelee relaatio
- Toinen kaksoisavaruus on isomorfinen . Lisäksi ja välillä on kanoninen isomorfismi (ei oleta, että avaruus on euklidinen), jonka määrittelee relaatio
- Yllä määritelty kanoninen isomorfismi osoittaa, että tilat ja välilyönnit ovat symmetrisiä: kukin niistä on kaksinainen toistensa kanssa. Tämän symmetrian korostamiseksi for on usein kirjoitettu kuin pistetulo.
Äärettömän ulottuvuuden avaruudet
- Jos avaruus on Hilbert , niin Rieszin lauseen mukaan ja välillä on isomorfismi , ja samoin kuin äärellisulotteisessa tapauksessa jokainen lineaarisesti rajattu funktionaali voidaan esittää sisätulon kautta käyttämällä jotakin avaruuselementtiä [4] .
- Konjugaatti avaruuteen , on avaruus , jossa . Samoin konjugaatti , , on samassa suhteessa p :n ja q :n välillä .
Muunnelmia ja yleistyksiä
- Termillä kaksoisavaruus voi olla erilainen merkitys vektoriavaruuksille kompleksilukujen kentässä : avaruus , joka osuu yhteen todellisen vektoriavaruuden kanssa, mutta jolla on erilainen kompleksiluvuilla kertomisen rakenne:
- Jos avaruudessa on hermiittinen metriikka (esimerkiksi Hilbert-avaruudessa ), lineaarisesti konjugaatti- ja kompleksikonjugaattiavaruudet osuvat yhteen.
Katso myös
Muistiinpanot
- ↑ 1 2 3 Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. - Mikä tahansa painos.
- ↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - ch. III, § 7. - M .: Fizmatlit, 2009.
- ↑ Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 2. painos. Moskova: Nauka, 1965, s. 147.
- ↑ Halmos P. Mittateoria. M.: Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1953.