Kaksoistila

Duaaliavaruus (joskus kaksoisavaruus ) on lineaaristen funktionaalisten funktioiden avaruus tietyssä vektoriavaruudessa .

Määritelmä

Kaikkien topologiseen vektoriavaruuteen määriteltyjen jatkuvien lineaaristen funktionaalisten funktioiden joukko muodostaa myös vektoriavaruuden. Tätä tilaa kutsutaan dual to , se on yleensä merkitty . Kaikkien lineaaristen funktionaalisten joukkoa , joka ei välttämättä ole jatkuvaa, kutsutaan algebrallisesti konjugoiduksi funktioon , sitä merkitään yleensä [1] .

Siinä tapauksessa (jota yleensä tarkastellaan lineaarisessa algebrassa), kun vektoriavaruus on äärellisulotteinen, kaikki lineaarifunktiot ovat automaattisesti jatkuvia, ja kaksoisavaruus yksinkertaisesti koostuu kaikista lineaarisista funktioista (funktioista) . Tapauksessa (jota yleensä pidetään funktionaalisessa analyysissä), kun se on yleisesti ottaen ääretön [1] .

Tensorilaskennassa nimitystä käytetään elementeille (ylempi eli kontravariantti , indeksi) ja elementeille (alempi tai kovariantti , indeksi).

Kaksoiskartoitukset

Kaksoiskartoitus on lineaarinen kartoitus dataan liittyvien vektoriavaruuksien välillä, joka on indusoitu itse avaruuksien välisellä kartoituksella.

Olkoon  vektoriavaruudet ja  kaksoisvektoriavaruudet. Kaikille lineaarisille mappauksille kaksoiskartoitus (käänteisessä järjestyksessä) määritellään seuraavasti

mille tahansa .

Ominaisuudet

Äärillisulotteiset avaruudet [2]

Äärettömän ulottuvuuden avaruudet

Muunnelmia ja yleistyksiä

Katso myös

Muistiinpanot

  1. 1 2 3 Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. - Mikä tahansa painos.
  2. Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - ch. III, § 7. - M .: Fizmatlit, 2009.
  3. Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 2. painos. Moskova: Nauka, 1965, s. 147.
  4. Halmos P. Mittateoria. M.: Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1953.