Satunnainen ryhmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. elokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Sporadinen ryhmä on yksi yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelulauseen 26 poikkeuksellisesta ryhmästä .

Yksinkertainen ryhmä on ryhmä G , joka ei sisällä muita normaaleja alaryhmiä kuin itse ryhmä G ja triviaali (identiteetti)alaryhmä. Luokittelulauseessa sanotaan, että äärellisten yksinkertaisten ryhmien luettelo koostuu 18 laskettavasta äärettömästä perheestä sekä 26 poikkeuksesta, jotka eivät kuulu tähän luokitukseen. Näitä poikkeuksia kutsutaan satunnaisiksi ryhmiksi. Niitä kutsutaan myös "satunnaisiksi yksinkertaisiksi ryhmiksi" tai "satunnaisiksi äärellisiksi ryhmiksi". Koska tissit ei ole varsinaisesti valhetyyppinen ryhmä , sitä pidetään joskus myös satunnaisena [1]ja tässä tapauksessa on 27. satunnainen ryhmä.

Hirviöryhmä on suurin satunnaisista ryhmistä ja sisältää tai alitekijäryhminä kaikki muut satunnaiset ryhmät paitsi kuusi.

Satunnaiset ryhmien nimet

Mathieu löysi viisi satunnaista ryhmää 1860-luvulla, loput 21 löydettiin vuosina 1965-1975. Useiden näiden ryhmien olemassaolo ennustettiin ennen niiden rakentamista. Myöhemmin todistettiin , että tämä vihdoin suoritti täydellisen etsinnät. Useimmat ryhmät on nimetty niiden matemaatikoiden mukaan, jotka ennustivat ensimmäisenä niiden olemassaolon.

Täydellinen luettelo ryhmistä:

Mathieu-ryhmät M 11 , M 12 , M 22 , M 23 , M 24
Janko-ryhmät J 1 , J 2 tai HJ , J 3 tai HJM , J 4
Conway-ryhmät Co 1 , Co 2 , Co 3
Fischer-ryhmät Fi 22 , Fi 23 , Fi 24 ′ tai F 3+
Higman-Sims Group HS
McLaughlin Group McL
Held group He tai F 7+ tai F 7
Rudvalis Group Ru
Suzuki group Suz tai F 3−
O'Nan Band O'N
Harada-Norton-ryhmä HN tai F 5+ tai F 5
Lyons Group Ly
Thompson-ryhmä Th tai F 3|3 tai F 3
Small Monster Group B tai F 2+ tai F 2
Fisher-Grace Monster Group M tai F 1

Tissiryhmää T pidetään joskus myös satunnaisena ryhmänä (se on melkein valhetyyppi), ja tästä syystä jotkut lähteet antavat satunnaisten ryhmien lukumääräksi 27 eikä 26. Muiden lähteiden mukaan tiaista ei pidetä satunnaisena eikä myöskään satunnaisena ryhmänä. valheen tyyppinen ryhmä.

Kaikille satunnaisille ryhmille rakennettiin matriisiesitykset äärellisten kenttien yli.

Varhaisin termi "satunnainen ryhmä" on löydetty Burnsidesta [2] , jossa hän sanoo Mathieu-ryhmistä: "Nämä näennäisesti satunnaiset yksinkertaiset ryhmät vaativat huolellisempaa tutkimusta kuin tähän mennessä on saatu."

Oikealla oleva kaavio perustuu Ronanin diagrammiin [3] . Satunnaisissa ryhmissä on myös suuri määrä alaryhmiä, jotka eivät ole satunnaisia, mutta ne eivät ole edustettuina kaaviossa niiden valtavan lukumäärän vuoksi.

Järjestelmä

26 satunnaisesta ryhmästä 20 kuuluu "Monster" -ryhmään alaryhminä tai alitekijäryhminä .

I. Pariah

Kuusi poikkeusta J 1 , J 3 , J 4 , O'N , Ru ja Ly kutsutaan joskus pariahiksi .

II. Happy Family

Loput kaksikymmentä ryhmää ovat nimeltään Happy Family (nimen antoi Robert Gries ) ja ne voidaan jakaa kolmeen sukupolveen.

Ensimmäinen sukupolvi (5 ryhmää) - Mathieu-ryhmät

Ryhmät Mn arvoille n = 11, 12, 22, 23 ja 24 ovat moninkertaisesti transitiivisia n pisteen permutaatioryhmiä . Ne ovat kaikki M 24 -ryhmän alaryhmiä , joka on 24 pisteen permutaatioryhmä.

Toinen sukupolvi (7 ryhmää) - Lich grid

Kaikki 24-ulotteisessa avaruudessa Leach -hilaksi kutsutun hilan automorfismiryhmän alitekijät :

Co 1 on automorfismiryhmän tekijäryhmä suhteessa keskustaan {±1}
Co 2 - tyypin 2 vektoristabilisaattori (eli pituus 2)
Co 3 - tyypin 3 vektoristabilisaattori (eli pituus √6)
Suz on ryhmä rakennetta säilyttäviä automorfismeja (keskuksen moduuli)
McL - tyyppi 2-2-3 delta-stabilisaattori
HS - tyyppi 2-3-3 delta-stabilisaattori
J 2 on ryhmä automorfismeja, jotka säilyttävät kvaternionirakenteen (moduuli keskellä).

Kolmas sukupolvi (8 ryhmää) - muut Monsterin alaryhmät

Koostuu alaryhmistä, jotka liittyvät läheisesti Monster M :ään:

B :ssä tai F 2 :ssa on kaksoiskansi, joka on M :n luokan 2 elementin keskittäjä
Fi 24 ′:ssa on kolminkertainen kansi, joka on M -luokan 3 elementin keskittäjä ( konjugaatioluokka "3A")
Fi 23 on Fi 24 : n alaryhmä
Fi 22 on kaksoispinnoitettu, joka on Fi 23 :n osajoukko
Tulo Th = F 3 ja ryhmä luokkaa 3 on kertaluvun 3 elementin keskittäjä M :ssä ( konjugaatioluokka "3C")
Tulo HN = F 5 ja luokkaa 5 oleva ryhmä on M :n 5:n kertaluvun elementin keskittäjä
He = F 7 ja 7 kertaluvun ryhmän tulo on kertaluvun 7 elementin keskittäjä M :ssä .
Lopuksi, itse hirviön katsotaan kuuluvan tähän sukupolveen.

(Tämä sarja jatkuu ja jatkuu - M 12 :n ja luokan 11 ryhmän tulo on M :n kertaluvun 11 elementin keskittäjä .)

Tissit-ryhmä kuuluu myös tähän sukupolveen - on olemassa alaryhmä , joka normalisoi 2C 2 -alaryhmän B , luoden alaryhmän , joka normalisoi jonkin alaryhmän Q 8 Monster. on myös Fischer-ryhmien Fi 22 , Fi 23 ja Fi 24 ′ ja "pienen hirviön" B alaryhmä . on Rudvalis-pariah-ryhmän Ru alaryhmä, eikä sillä ole muita riippuvuuksia satunnaisten yksinkertaisten ryhmien kanssa kuin yllä luetellut. $S_{4}\times {^{2}}{F_{4}(2)^{\prime }}$ $2{\cdot }S_{4}\times {^{2}}F_{4}(2)^{\prime }$ ${^{2}}F_{4}(2)^{\prime }$ ${^{2}}F_{4}(2)^{\prime }$

Taulukko satunnaisten ryhmien järjestyksistä

Ryhmä	Sukupolvi	Tilaus (sekvenssi A001228 OEIS : ssä )	Merkittäviä numeroita	Hajoaminen	Kolme vakiogeneraattoria (a, b, ab) [4] [5] [6]	Muut edellytykset
F1 tai M _	kolmas	8080174247945128758864599049617107 570057543680000000000	≈ 8⋅10 53	2 46 • 3 20 • 5 9 • 7 6 • 11 2 • 13 3 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71	2A, 3B, 29
F 2 tai B	kolmas	4154781481226426191177580544000000	≈ 4⋅10 33	$2^{41}\cdot 3^{13}\cdot 5^{6}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 31\cdot 47$	2C, 3A, 55	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=23$
Fi 24 ' tai F 3+	kolmas	1255205709190661721292800	≈ 1⋅10 24	2 21 • 3 16 • 5 2 • 7 3 • 11 • 13 • 17 • 23 • 29	2A, 3E, 29	$o((ab)^{3}b)=33$
Fi 23	kolmas	4089470473293004800	≈ 4⋅10 18	2 18 • 3 13 • 5 2 • 7 • 11 • 13 • 17 • 23	2B, 3D, 28
Fi 22	kolmas	64561751654400	≈ 6⋅10 13	2 17 • 3 9 • 5 2 • 7 • 11 • 13	2A, 13, 11	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=12$
F 3 tai Th	kolmas	90745943887872000	≈ 9⋅10 16	2 15 • 3 10 • 5 3 • 7 2 • 13 • 19 • 31	2, 3A, 19
Ly	hylkiö	51765179004000000	≈ 5⋅10 16	2 8 • 3 7 • 5 6 • 7 • 11 • 31 • 37 • 67	2, 5A, 14	$o(ababab^{2})=67$
F 5 tai HN	kolmas	273030912000000	≈ 3⋅10 14	2 14 • 3 6 • 5 6 • 7 • 11 • 19	2A, 3B, 22	$o([a,b])=5$
Yhteistyö 1	toinen	4157776806543360000	≈ 4⋅10 18	2 21 • 3 9 • 5 4 • 7 2 • 11 • 13 • 23	2B, 3C, 40
Co 2	toinen	42305421312000	≈ 4⋅10 13	2 18 • 3 6 • 5 3 • 7 • 11 • 23	2A, 5A, 28
Co 3	toinen	495766656000	≈ 5⋅10 11	2 10 • 3 7 • 5 3 • 7 • 11 • 23	2A, 7C, 17
O'N_	hylkiö	460815505920	≈ 5⋅10 11	2 9 • 3 4 • 5 • 7 3 • 11 • 19 • 31	2A, 4A, 11
Suz	toinen	448345497600	≈ 4⋅10 11	2 13 • 3 7 • 5 2 • 7 • 11 • 13	2B, 3B, 13	$o([a,b])=15$
Ru	hylkiö	145926144000	≈ 1⋅10 11	2 14 • 3 3 • 5 3 • 7 • 13 • 29	2B, 4A, 13
F 7 tai hän	kolmas	4030387200	≈ 4⋅10 9	2 10 • 3 3 • 5 2 • 7 3 • 17	2A, 7C, 17
McL_	toinen	898128000	≈ 9⋅10 8	2 7 • 3 6 • 5 3 • 7 • 11	2A, 5A, 11	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=7$
HS	toinen	44352000	≈ 4⋅10 7	2 9 • 3 2 • 5 3 • 7 • 11	2A, 5A, 11
J4 [ fi	hylkiö	86775571046077562880	≈ 9⋅10 19	2 21 • 3 3 • 5 • 7 • 11 3 • 23 • 29 • 31 • 37 • 43	2A, 4A, 37	$o(abab^{2})=10$
J 3 tai HJM	hylkiö	50232960	≈ 5⋅10 7	2 7 • 3 5 • 5 • 17 • 19	2A, 3A, 19	$o([a,b])=9$
J2 tai HJ_ _	toinen	604800	≈ 6⋅10 5	2 7 • 3 3 • 5 2 • 7	2B, 3B, 7	$o([a,b])=12$
J 1_	hylkiö	175560	≈ 2⋅10 5	2 3 • 3 • 5 • 7 • 11 • 19	2, 3, 7	$o(abab^{2})=19$
M24 [ fi	ensimmäinen	244823040	≈ 2⋅10 8	2 10 • 3 3 • 5 • 7 • 11 • 23	2B, 3A, 23	$o(ab(abab^{2})^{2}ab^{2})=4$
M23 [ fi	ensimmäinen	10200960	≈ 1⋅10 7	2 7 • 3 2 • 5 • 7 • 11 • 23	2, 4, 23	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=8$
M22 [ fi	ensimmäinen	443520	≈ 4⋅10 5	2 7 • 3 2 • 5 • 7 • 11	2A, 4A, 11	$o(abab^{2})=11$
M12 [ fi	ensimmäinen	95040	≈ 1⋅10 5	2 6 • 3 3 • 5 • 11	2B, 3B, 11
M11 [ fi	ensimmäinen	7920	≈ 8⋅10 3	2 4 • 3 2 • 5 • 11	2, 4, 11	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=4$

Muistiinpanot

↑ Esimerkiksi Conwayn mukaan .
↑ Burnside, 1911 , s. 504 muistiinpano N.
↑ Ronan, 2006 .
↑ Wilson R. A. Satunnaisten ryhmien edustajien atlas (1998). Käyttöpäivä: 7. tammikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 4. tammikuuta 2018. (määrätön)
↑ Nickerson SJ, Wilson RA. Semi-esityksiä satunnaisille yksinkertaisille ryhmille (2000). (määrätön)
↑ Wilson RA, Parker RA, Nickerson SJ, Bray JN. Atlas: Sporadiset ryhmät (1999). Haettu 7. tammikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 8. tammikuuta 2012. (määrätön)

Kirjallisuus

William Burnside. Teoria äärellisten järjestysryhmien ryhmistä. - 1911. - S. 504 (huomautus N). — ISBN 0-486-49575-2 .
Conway JH Täydellinen ryhmä tilauksesta 8 315 553 613 086 720 000 ja satunnaiset yksinkertaiset ryhmät // Proc. Natl. Acad. sci. USA. - 1968. - T. 61 , no. 2 . — S. 398–400 . - doi : 10.1073/pnas.61.2.398 .
Conway JH , Curtis RT, Norton SP, Wilson RA Äärillisten ryhmien atlas. Maksimialaryhmät ja tavalliset merkit yksinkertaisille ryhmille. JG Thackrayn laskenta-avulla. - Oxford University Press, 1985. - ISBN 0-19-853199-0 .
Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. Rajallisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu. - American Mathematical Society , 1994. Numerot 1 , 2 , ...
Robert L. Griess. Kaksitoista satunnaista ryhmää . - Springer-Verlag, 1998. - ISBN 3540627782 .
Mark Ronan. Symmetria ja hirviö . - Oxford, 2006. - ISBN 978-0-19-280722-9 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Sporadic Group (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Rajallisten ryhmien edustajien atlas: satunnaiset ryhmät

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muuta ryhmää Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos