Stokastinen differentiaaliyhtälö

Stokastinen differentiaaliyhtälö (SDE) on differentiaaliyhtälö , jossa yksi tai useampi termi on luonteeltaan stokastinen, eli ne ovat stokastinen (satunnainen) prosessi . Siten yhtälön ratkaisut osoittautuvat myös stokastisiksi prosesseiksi. Tunnetuin ja yleisimmin käytetty esimerkki SDE:stä on yhtälö, jossa on valkoinen kohinatermi (jota voidaan pitää esimerkkinä Wiener-prosessin johdannaisesta ). On kuitenkin myös muita satunnaisia vaihtelutyyppejä, kuten hyppyprosessi .

Historia

Kirjallisuudessa SDE:n ensimmäinen käyttö liittyy perinteisesti työhön Brownin liikkeen kuvauksesta , jonka ovat tehneet Marian Smoluchowski ( 1904 ) ja Albert Einstein ( 1905 ). Kuitenkin SDE:itä käytti hieman aikaisemmin ( 1900 ) ranskalainen matemaatikko Louis Bouchelier väitöskirjassaan "Oletusteoria". Tämän työn ideoiden perusteella ranskalainen fyysikko Paul Langevin alkoi soveltaa SDE:tä fysiikan työssään. Myöhemmin hän ja venäläinen fyysikko Ruslan Stratonovich kehittivät SDE:lle tiukemman matemaattisen perustelun.

Terminologia

Fysiikassa SDE:t kirjoitetaan perinteisesti Langevinin yhtälön muodossa. Ja usein, mutta ei täysin tarkasti, kutsutaan itse Langevin-yhtälöksi , vaikka SDE voidaan kirjoittaa monilla muilla tavoilla. Langevin-yhtälön muodossa oleva SDE koostuu tavallisesta ei-stokastisesta differentiaaliyhtälöstä ja lisäosasta, joka kuvaa valkoista kohinaa . Toinen yleinen muoto on Fokker-Planck-yhtälö , joka on osittainen differentiaaliyhtälö, joka kuvaa todennäköisyystiheyden kehitystä ajan kuluessa. SDE:n kolmatta muotoa käytetään yleisemmin matematiikassa ja talousmatematiikassa, se muistuttaa Langevinin yhtälöitä, mutta on kirjoitettu käyttämällä stokastisia differentiaaleja (katso yksityiskohdat alla).

Stokastinen laskenta

Brownin liike (matematiikan kielellä Wiener-prosessi) osoittautui erittäin monimutkaiseksi matemaattiseksi objektiksi. Erityisesti Wiener-prosessi on ei-differentioituva, joten tämän tyyppisten prosessien manipulointi vaati oman laskelman luomista ( stokastisten integraalien teoria ). Stokastisesta laskusta on tällä hetkellä käytössä kaksi versiota , Itôn stokastinen ja Stratonovichin stokastinen laskenta . Yleensä Ito-muodossa oleva SDE voidaan helposti kirjoittaa uudelleen SDE:hen Stratonovich-muodossa ja päinvastoin, mutta aina on tarpeen määrittää selkeästi muoto, jossa SDE kirjoitetaan.

Ratkaisun olemassaolo ja ainutlaatuisuus

Aivan kuten tavallisten differentiaaliyhtälöiden kohdalla, on tärkeää tietää, onko SDE:llä ratkaisu ja jos on, onko tämä ratkaisu ainutlaatuinen. Esitämme Itôn yhtälön olemassaolon ja ainutlaatuisuuslauseen muotoilun . Todiste löytyy Øksendalista (2003, § 5.2).

Olkoon ratkaisun arvot -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa , jossa määritellään -ulotteinen satunnaisprosessi, joka kuvaa Brownin liikettä ; $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $B$

Anna ja anna $T>0$

\mu :{\mathbb {R}}^{{n}}\times [0,T]\to {\mathbb {R}}^{{n}};

\sigma :{\mathbb {R}}^{{n}}\times [0,T]\to {\mathbb {R}}^{{n\times m}});

ovat mitattavissa olevia funktioita , joille on vakioita ja sellaisia $C$ $D$

{\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t){\big |}{\big |}\leq C{\iso (}1+|x|{\iso )};

{\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t)-\sigma ( y,t){\big |}{\big |}\leq D|xy|;

kaikille ja kaikille ja missä $t\in[0,T]$ $x$ $y\in {\mathbb {R}}^{n}$

|\sigma |^{{2}}=\sum _{{i,j=1}}^{{n}}|\sigma _{{ij}}|^{{2}}.

Olkoon satunnaismuuttuja, joka on riippumaton prosessin , generoimasta -algebrasta ja jolla on äärellinen toinen hetki : $Z$ $\sigma$ $B_{s}$ $s\geq 0$

{\mathbb {E}}{\big [}|Z|^{{2}}{\big ]}<+\infty .

Sitten stokastinen differentiaaliyhtälö annetuille alkuolosuhteille

{\mathrm {d}}X_{{t}}=\mu (X_{{t}},t)\,{\mathrm {d}}t+\sigma (X_{{t}},t)\, {\mathrm {d}}B_{{t}}

varten

t\in[0,T];

X_{{t}}=Z;

sillä on ainutlaatuinen ("melkein todennäköisesti") ja -jatkuva ratkaisu , joka on mukautettu prosessi suodatukseen , jonka muodostavat ja , , ja $t$ $(t,\omega )\shortmid \!\to X_{t}(\omega )$ $X$ $F_{t}^{Z}$ $Z$ $B_{s}$ $s\leq t$

{\mathbb {E}}\left[\int \limits _{{0}}^{{T}}|X_{{t}}|^{{2}}\,{\mathrm {d}}t \right]<+\infty .

Stokastisten yhtälöiden soveltaminen

Fysiikka

Fysiikassa SDE:t kirjoitetaan usein Langevinin yhtälön muodossa. Esimerkiksi ensimmäisen asteen SDE-järjestelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:

{\piste {x}}_{i}={\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(\mathbf {x} )+\sum _{m=1}^ {n}g_{i}^{m}(\mathbf {x} )\eta _{m}(t),

jossa on joukko tuntemattomia, ja ne ovat mielivaltaisia funktioita ja ovat ajan satunnaisia funktioita, joita kutsutaan usein kohinatermeiksi. Tätä merkintää käytetään, koska on olemassa standarditekniikka, jolla yhtälö, jolla on korkeammat derivaatat, muunnetaan ensimmäisen asteen yhtälöjärjestelmäksi ottamalla käyttöön uusia tuntemattomia. Jos ovat vakioita, järjestelmän sanotaan olevan alttiina lisäkohinalle. Otamme huomioon myös järjestelmät, joissa on multiplikatiivista kohinaa, kun . Kahdesta tarkastelusta tapauksesta additiivinen melu on yksinkertaisempi. Ratkaisu additiivinen kohinajärjestelmään voidaan usein löytää vain standardilaskennan menetelmillä . Erityisesti voidaan käyttää tavallista menetelmää tuntemattomien funktioiden muodostamiseksi. Multiplikatiivisen kohinan tapauksessa Langevinin yhtälö on kuitenkin huonosti määritelty tavallisen matemaattisen analyysin kannalta ja se on tulkittava Itô- tai Stratonovich-laskennan avulla. ${\mathbf {x}}=\{x_{i}|1\leq i\leq k\}$ $f_{i}$ $g_i$ $\eta_{m}$ $g_i$ $g(x)\propto x$

Fysiikassa pääasiallinen menetelmä SDE:iden ratkaisemiseksi on löytää ratkaisu todennäköisyystiheyden muodossa ja muuntaa alkuperäinen yhtälö Fokker-Planck-yhtälöksi. Fokker-Planck-yhtälö on osittainen differentiaaliyhtälö ilman stokastisia termejä. Se määrittää todennäköisyystiheyden aikakehityksen, aivan kuten Schrödingerin yhtälö määrittää järjestelmän aaltofunktion aikariippuvuuden kvanttimekaniikassa, tai diffuusioyhtälö määrittää kemiallisen pitoisuuden aikakehityksen. Ratkaisuja voidaan etsiä myös numeerisesti, esimerkiksi Monte Carlo -menetelmällä . Muut ratkaisujen löytämistekniikat käyttävät polkuintegraalia , tämä tekniikka perustuu tilastollisen fysiikan ja kvanttimekaniikan analogiaan (esim. Fokker-Planck-yhtälö voidaan muuntaa Schrödingerin yhtälöksi käyttämällä jotakin muuttujien muunnosta) tai tavalliset differentiaaliyhtälöt todennäköisyystiheysmomenteille .

Linkit

Stokastinen maailma – yksinkertainen johdatus stokastisiin differentiaaliyhtälöihin

Kirjallisuus

Adomian, George. Stokastiset järjestelmät . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Mathematics in Science and Engineering (169)).
Adomian, George. Epälineaariset stokastiset operaattoriyhtälöt . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
Adomian, George. Epälineaariset stokastiset systeemiteoriat ja sovellukset fysiikkaan . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1989. - (Matematiikka ja sen sovellukset (46)).
Øksendal, Bernt K.Stokastiset differentiaaliyhtälöt: Johdatussovelluksiin . – Berliini: Springer, 2003.
Teugels, J. ja Sund B. (toim.). Encyclopedia of Actuarial Science (englanniksi) . - Chichester: Wiley, 2004. - P. 523-527.
CW Gardiner . Stokastisten menetelmien käsikirja: fysiikkaa, kemiaa ja luonnontieteitä varten . - Springer, 2004. - s . 415 .
Thomas Mikosch. Alkeisstokastinen laskenta: rahoitusnäkymässä . - Singapore: World Scientific Publishing , 1998. - S. 212 .
Bachelier, L.,. Théorie de la spekulaatio (ranskaksi), PhD Thesis (englanniksi) . - NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0 , 1900.

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Iso venäläinen

Bibliografisissa luetteloissa
BNF : 120480366 GND : 4057621-8 J9U : 987007536304005171 LCCN : sh85128177 NDL : 00575718 NKC : ph388475

Matemaattinen fysiikka

Yhtälöiden tyypit

Yhtälötyypit

Reunaehdot

Matemaattisen fysiikan yhtälöt

Diffuusio ja konvektio	Lämpöyhtälö Diffuusioyhtälö Mason-Weaverin yhtälö
Hydrodynamiikka	Siirtoyhtälö Navier-Stokes yhtälöt Eulerin yhtälö Gromeka-Lamb yhtälö Pyörreyhtälö Burgers yhtälö Matalan veden yhtälöt Korteweg-de Vriesin yhtälö
Sähkömagnetismi	Maxwellin yhtälöt Helmholtzin yhtälö Landau-Lifshitzin yhtälö Seulottu Poisson-yhtälö
Kvanttimekaniikka	Schrödingerin yhtälö Heisenbergin yhtälö Rarita-Schwinger yhtälö Hartreen yhtälö Diracin yhtälö Klein-Gordonin yhtälö
Yleiset mallit	Jatkuvuusyhtälö aaltoyhtälö Fokker-Planck yhtälö Poissonin yhtälö

Ratkaisumenetelmät

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät

Yhtälötutkimus

liittyvät aiheet