Gaussin summa

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24.6.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Matematiikassa Gaussin summa ymmärretään tietynlaisena äärellisinä juurien summana yksiköstä , joka on yleensä kirjoitettu muotoon

G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)

Tässä summa on otettu jonkin äärellisen kommutatiivisen renkaan R kaikki alkiot r , ψ( r ) on additiivinen ryhmän R + homomorfismi yksikköympyrään ja χ( r ) on yksikköryhmän R × homomorfismi yksikköympyrä jatketaan 0:lla. Gauss-summat ovat analogisia gammafunktioille äärellisten kenttien tapauksessa .

Näitä summia esiintyy usein lukuteoriassa , erityisesti Dirichlet L-funktioiden funktionaalisissa yhtälöissä .

Carl Friedrich Gauss käytti summien ominaisuuksia ratkaistakseen joitain lukuteorian ongelmia, erityisesti hän sovelsi niitä yhdessä vastavuoroisuuden toisen asteen lain todistuksessa . Aluksi Gauss-summat ymmärrettiin neliöllisiksi Gauss-summuiksi , joille R on jäännöskenttä modulo p ja χ on Legendren symboli . Tässä tapauksessa Gauss osoitti, että G (χ) = p 1/2 tai ip 1/2 , kun p on kongruentti 1 tai 3 modulo 4:n kanssa, vastaavasti.

Vaihtoehtoinen tapa kirjoittaa Gauss-summa:

\sum e^{\frac {2\pi ir^{2}}{p}}

Gauss-summien yleinen teoria kehitettiin 1800-luvun alussa käyttäen Jacobin summia ja niiden alkutekijöitä ympyräkentissä .

Gaussin summien merkitys lukuteorialle paljastui vasta 1920-luvulla. Tuolloin Hermann Weyl sovelsi yleisempiä trigonometrisiä summia yhtenäisten jakautumien tutkimukseen , jota myöhemmin kutsuttiin Weyl-summuiksi. Samanaikaisesti I. M. Vinogradov käytti Gaussin summia saadakseen ylemmän arvion pienimmän neliöllisen ei-jäännökselle modulo p. Gauss-summat mahdollistavat yhteyden muodostamisen kahden tärkeän lukuteorian kohteen: kerto- ja additiivisten merkkien välillä. Neliölliset Gaussin summat liittyvät läheisesti θ-funktioiden teoriaan .

Gaussin summien itseisarvo löydetään yleensä Plancherelin lauseesta äärellisille ryhmille . Tapauksessa, jossa R on p elementin kenttä ja χ on ei-triviaali, itseisarvo on yhtä suuri kuin p 1/2 . Gaussin kokonaissumman tarkan arvon laskeminen ei ole helppoa.

Dirichlet-merkin Gauss-summien ominaisuudet

Gauss-summa Dirichlet -merkille modulo N

G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.

Jos χ on primitiivinen niin

|G(\chi )|={\sqrt {N)),

ja erityisesti se ei ole yhtä suuri kuin nolla. Yleisemmin, jos N 0 on johdin , jonka merkki on χ ja χ 0 on primitiivinen Dirichlet-merkin modulo N 0 , joka indusoi χ:n, niin

G(\chi )=\mu (N/N_{0})\chi _{0}(N/N_{0})G(\chi _{0})

missä μ on Möbius-funktio .

Tästä seuraa, että G (χ) on nollasta poikkeava silloin ja vain, jos N / N0 on neliötön ja suhteellisesti alkuluku N 0 : aan .

Suhde

G({\overline {\chi )))=\chi (-1){\overline {G(\chi ))),

missä χ on Dirichlet-merkin kompleksikonjugaatio.

Jos χ′ on Dirichlet-merkki modulo N ′ siten, että N ja N ′ ovat alkulukuja, niin

G(\chi \chi ^{\prime })=\chi (N^{\prime })\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G(\chi ^{\prime } ).

Katso myös

Chole–Mordellin lause
Gaussin elliptinen summa

Kirjallisuus

Berndt, eKr; Evans, RJ; Williams, K.S. Gauss ja Jacobi Sums. - Wiley, 1998. - (Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts). - ISBN 0-471-12807-4 .
Irlanti, Kenneth; Rosen, Michael. Klassinen johdatus nykyaikaiseen lukuteoriaan . – 2. - Springer-Verlag , 1990. - Voi. 84. - ( Matematiikan tutkinnon tekstit ). — ISBN 0-387-97329-X .
Osa 3.4 julkaisusta Iwaniec, Henryk & Kowalski, Emmanuel (2004), Analytic number theory , voi. 53, American Mathematical Society Colloquium Publications, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3633-0
Artin E., Tate J., Class field theory, NY-Amst., 1967;

Painokset venäjäksi

Ireland K., Rosen M. Klassinen johdatus nykyaikaiseen lukuteoriaan.
Carl Friedrich Gauss. la artikkelit, M., 1956;
Vinogradov I. M. Trigonometristen summien menetelmä lukuteoriassa, M., 1971;
Davenport G. Kertalukuteoria, trans. Englannista, M., 1971;
Prahar K. Alkulukujen jakauma , trans. saksasta, M., 1967;
Hasse G. Luentoja lukuteoriasta, käänn. saksasta, M., 1953.

Jig-hahmo

Algebrallinen lukuteoria, trans. Englannista, M., 1969;
Serre J.-P. Abelin l-adic esitykset ja elliptiset käyrät , käänn. Englannista, M., 1973.