Pallomainen koordinaattijärjestelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25. joulukuuta 2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Pallomainen koordinaattijärjestelmä on kolmiulotteinen koordinaattijärjestelmä , jossa jokainen piste avaruudessa on määritelty kolmella numerolla , jossa on etäisyys origoon (säteittäinen etäisyys) ja ja ovat zeniitti- ja atsimutaalikulmat , vastaavasti. $(r,\;\theta ,\;\varphi)$ $r$ $\theta$ $\varphi$

Seniitin ja atsimuutin käsitteitä käytetään laajasti tähtitieteessä . Zenith - pystysuoran nousun suunta mielivaltaisesti valitun pisteen (havaintopisteen) yläpuolelle, joka kuuluu perustasoon . Tähtitieteen perustasoksi voidaan valita päiväntasaajan taso tai horisontin taso tai ekliptiikan taso jne., jolloin syntyy erilaisia taivaankoordinaatteja. Atsimuutti on kulma mielivaltaisesti valitun perustason säteen, jonka origo on havaintopisteessä, ja tämän tason toisen säteen välillä, jolla on yhteinen origo ensimmäisen kanssa.

Jos tarkastellaan pallomaista koordinaattijärjestelmää suhteessa karteesiseen järjestelmään , perustaso on taso , sädevektorin antama pisteen zeniittikulma on kulma ja akselin välinen kulma ja atsimuutti on kulma akselin välillä . projektio tasolle ja akselille . Tämä selittää kulmien nimet ja sen, että pallomainen koordinaattijärjestelmä voi toimia yleistyksenä monenlaisille taivaankoordinaatistoille . $Oxyz$ $xy$ $P$ $P$ $z$ $P$ $xy$ $x$

Määritelmät

Pisteen sijainti pallomaisessa koordinaatistossa määräytyy kolmiosalla , jossa $P$ $(r,\;\theta ,\;\varphi)$

$r\geqslant 0$ on etäisyys koordinaattien origosta annettuun pisteeseen . $P$
$0^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ on kulma akselin ja janan välinen kulma, joka yhdistää origon ja pisteen . $z$ $P$
$0^{\circ }\leqslant \varphi <360^{\circ }$ on kulma akselin ja janan projektion välillä, joka yhdistää koordinaattien origon tason pisteeseen (katso kuva 1). $x$ $P$ $xy$

Kulmaa kutsutaan zeniitiksi tai polaariseksi , sitä voidaan myös kutsua inklinaatioksi tai kolaasteeksi ja kulma on atsimuutti . Kulmia ja ei ole määritelty kohdassa , ja kulmaa (eli klo tai ) ei myöskään ole määritelty. $\theta$ $\varphi$ $\theta$ $\varphi$ $r = 0$ $\varphi$ $\sin(\theta )=0$ $\theta=0$ $\theta =180^{\circ }$

Tällainen sopimus on vahvistettu standardissa ( ISO 31-11 ). Lisäksi sopimusta voidaan käyttää, kun zeniittikulman sijasta käytetään pisteen sädevektorin ja tason välistä kulmaa, joka on yhtä suuri kuin . Sitä kutsutaan leveysasteeksi ja se voidaan merkitä samalla kirjaimella . Leveysaste voi vaihdella sisällä . Tämän sopimuksen mukaisesti kulmilla ja ei ole väliä milloin , aivan kuten ensimmäisessä tapauksessa, mutta ei väliä milloin (eli milloin tai ). $\theta$ $P$ $xy$ $90^{\circ }-\theta$ $\theta$ $-90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }$ $\theta$ $\varphi$ $r = 0$ $\varphi$ $\cos(\theta )=0$ $\theta =-90^{\circ }$ $\theta =90^{\circ }$

Siirtyminen muihin koordinaattijärjestelmiin

Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä

Jos pisteen pallomaiset koordinaatit annetaan , siirtyminen karteesiseen tapahtuu kaavojen mukaisesti: $(r,\;\theta ,\;\varphi)$

{\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Käänteisesti karteesisesta pallomaiseen:

{\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos {\dfrac {z}{\ sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))=\mathrm {arctg} {\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2))}{z )),\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}}.\end{cases}}

Pallokoordinaateiksi muunnoksen jakobilainen on

{\begin{alignedat}{2}J&={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )))={\begin{vmatrix}\ sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \ theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=\\&=\cos \theta (r^{2}\cos \varphi ^{2}\cos \theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\varphi \cos \theta \sin \theta )+r\sin \theta (r\sin ^{2}\theta \cos ^{2 }\varphi +r\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi )=\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta \sin \theta +r^{2} \sin ^{2}\theta \sin \theta =\\&=r^{2}\sin \theta .\end{alignedat}}

Siten tilavuuselementti siirtymisessä suorakulmaisista koordinaateista pallomaisiin koordinaatteihin näyttää tältä:

\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi

Sylinterimäinen koordinaattijärjestelmä

Jos pisteen pallomaiset koordinaatit annetaan, siirtyminen sylinterimäisiin suoritetaan kaavojen mukaisesti:

{\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Paluu lieriömäisestä pallomaiseen:

{\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2))},\\\theta =\mathrm {arctg} {\dfrac {\rho }{z} },\\\varphi =\varphi .\end{cases}}

Jacobilainen muunnos pallomaisesta sylinterimäiseksi . $J=r$

Erotusominaisuudet

Pisteestä pisteeseen piirretty vektori on yhtä suuri kuin $\mathrm {d} \mathbf {r}$ $(r,\theta,\varphi)$ $(r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )$

\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat { \theta ))}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}},

missä

{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r))}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath ))}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath ))}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k))))

{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\ hattu {\jmath ))}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k))))

{\boldsymbol {\hat {\varphi ))}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath ))}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath ))}

Pallomaisten koordinaattien ortogonaaliset yksikkövektorit kasvusuunnassa ja ovat karteesisten koordinaattien yksikkövektoreita. Pallokoordinaatit ovat ortogonaalisia, joten metrisen tensorin muoto on diagonaalinen: $r,\theta,\varphi$ ${\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}$

g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix)),\quad g^{ij}= {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }} \end{pmatrix}}

$\det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\$
Kaaren pituusero neliö:

ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.

Lame kertoimet :

H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .

Christoffel-symbolit : $\{r,\;\theta ,\;\varphi \}$

\Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta,

\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1} {r}},

\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta.

Loput ovat nollia.

Maan matemaattinen mallinnus

Pallomainen maantieteellinen koordinaattijärjestelmä

Pallomainen maantieteellinen koordinaattijärjestelmä on rakennettu seuraavasti [1] :

sen alku on sijoitettu maan keskelle ;
napa-akseli on suunnattu pitkin maan pyörimisakselia ;
koordinaatti mitataan pitkin maan keskustasta vedettyä sädevektoria; $r$
napakulma on colatitude (maantieteellisen leveysasteen komplementti ) ; $\theta$ $90^{\circ }$
atsimuuttikulma on sama kuin maantieteellinen pituusaste (itä). $\varphi$

Maan magneettikentän magneettisella induktiovektorilla on komponentteja $\mathbf {B}$

B_{r}=-B\sin I,\;B_{\theta }=-B\cos I\cos D,\;B_{\varphi }=B\cos I\sin D,

missä on magneettinen kaltevuus ; - magneettinen deklinaatio . $minä$ $D$

Vapaan pudotuksen kiihtyvyysvektorin komponentit ovat ${\mathbf {g}}$

g_{r}=-g,\;g_{\theta }=g_{\varphi }=0.

Lopuksi Maan kulmanopeusvektorin komponentit ovat: $\mathbf {\Omega }$

\Omega _{r}=\Omega \cos \theta ,\;\Omega _{\theta }=-\Omega \sin \theta ,\;\Omega _{\varphi }=0.

Pallomaisissa maantieteellisissä koordinaateissa on optimaalista ratkaista yhtälöitä, jotka kuvaavat Maan lähiavaruuden neutraalien hiukkasten käyttäytymistä [1] .

Pallomainen geomagneettinen koordinaattijärjestelmä

Pallomainen geomagneettinen koordinaattijärjestelmä on rakennettu seuraavasti [1] :

sen alku on sijoitettu maan keskelle ;
napa-akseli on suunnattu pitkin Maan magneettisen dipolin akselia (geomagneettinen akseli), joka kulkee magneettisten napojen läpi ;
koordinaatti mitataan pitkin maan keskustasta vedettyä sädevektoria; $r$
napakulma on geomagneettinen colatitude (magneettisen leveysasteen komplementti ); $\Theta$ $\Phi$ $90^{\circ }\colon \;\Theta =\pi /2-\Phi$
atsimuuttikulma on sama kuin geomagneettinen pituus, joka mitataan läntisen pallonpuoliskon maantieteelliset ja geomagneettiset navat sisältävästä tasosta itään . $\lambda$

Pohjoisen magneettinavan maantieteelliset koordinaatit ovat

\theta _{0}=4.6^{\circ },\;\varphi _{0}=43.0^{\circ }\;(2012).

Pallomaisessa geomagneettisessa koordinaattijärjestelmässä deklinaatio ja $D = 0$

B_{r}=-B\sin I,\;B_{\Theta }=-B\cos I,\;B_{\Lambda }=0,

g_{r}=-g,\;g_{\Theta }=g_{\Lambda }=0.

\Omega _{r}=\Omega (\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ),

\Omega _{\Theta }=-\Omega (\cos \theta _{0}\sin \Theta +\sin \theta _{0}\cos \Theta \cos \Lambda ),

\Omega _{\Lambda }=\Omega \sin \theta _{0}\sin \Lambda .

Maantieteellisiä ja geomagneettisia pallokoordinaatteja koskevat kaavat [1] :

\cos \Theta =\cos \theta _{0}\cos \theta +\sin \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0}),

\cos \Lambda ={\frac {-\sin \theta _{0}\cos \theta +\cos \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0} )}{\sin \Theta )),

\cos \theta =\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ,

\cos(\varphi -\varphi _{0})={\frac {\sin \theta _{0}\cos \Theta +\cos \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda }{\sin \theta )).

Pallomaisissa geomagneettisissa koordinaateissa on helpompaa kuin pallomaisissa maantieteellisissä koordinaateissa kuvata geomagneettisen kentän vaikutusta maapallon lähiavaruuden varautuneisiin hiukkasiin [1] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 Bryunelli B. E., Namgaladze A. A. Ionosfäärin fysiikka. Moskova: Nauka, 1988. § 3.5, s. 172-173. ISBN 5-02-000716-1

Linkit

Weisstein , Eric W. Pallokoordinaatit Wolfram MathWorldissä .

Koordinaattijärjestelmät
Koordinaattien nimi	Abskissa Ordinate Applikointi
Koordinaattijärjestelmien tyypit	Suoraviivainen koordinaattijärjestelmä Kaareva koordinaattijärjestelmä
2D koordinaatit	Kaksikulmaiset koordinaatit Kaksikeskiset koordinaatit Hyperboliset koordinaatit Polaarikoordinaatit Bipolaariset koordinaatit Paraboliset koordinaatit Elliptiset koordinaatit Tetrasykliset koordinaatit Trilineaariset koordinaatit
3D-koordinaatit	Sylinterimäiset koordinaatit Pallomaiset koordinaatit Bisfääriset koordinaatit Toroidaaliset koordinaatit Lieriömäiset paraboliset koordinaatit Kaksisylinteriset koordinaatit Ellipsoidiset koordinaatit Kartiokoordinaatit Pentasfääriset koordinaatit Dipolaarinen koordinaattijärjestelmä
$n$ -ulotteiset koordinaatit	Suorakulmaiset koordinaatit Affine koordinaatit Projektiiviset koordinaatit Plückerin koordinaatit barysentriset koordinaatit
Fyysiset koordinaatit	Rindlerin koordinaatit Syntymäkoordinaatit Taivaallinen koordinaattijärjestelmä Maantieteelliset koordinaatit Ortodrominen pääkoordinaattijärjestelmä
Aiheeseen liittyvät määritelmät	Koordinaattimenetelmä Alkuperä Koordinaattiakseli Vektori Orth viitejärjestelmä Vertailuarvo Huonot kertoimet Metrinen tensori

Taivaan mekaniikka

Lait ja tehtävät	Newtonin lait Painovoimalaki Keplerin lait Kaksi kehon ongelmaa Kolme kehon ongelmaa Gravitaatio N-kappaleen ongelma Bertrandin ongelma Keplerin yhtälö
Taivaallinen pallo	Taivaallinen koordinaattijärjestelmä galaktinen vaakasuoraan päiväntasaajan- ekliptiikka Kansainvälinen taivaankoordinaattijärjestelmä Pallomainen koordinaattijärjestelmä maailman akseli Taivaallinen päiväntasaaja oikea ylösnousemus deklinaatio Ekliptinen Päiväntasaus Päivänseisaus perustaso
Rataparametrit _	Kepleriläiset kiertoradan elementit epäkeskisyys puolipääakseli tarkoittaa anomaliaa nouseva solmupituusaste periapsis argumentti Apocenter ja periapsis Ratanopeus Ratasolmu Epoch
Taivaankappaleiden liikkeet	Auringon ja planeettojen liike taivaalla Ephemeris Planeetan kokoonpanot vastakkainasettelua yhdiste kvadratuuri venymä planeettojen paraati Pimennys auringonpimennys kuunpimennys saros Metoninen kierto Pinnoite Ohjaus huipentuma sideerinen ajanjakso synodinen ajanjakso Kiertojakso kiertoradan resonanssi Equinox Prelude Lähentyminen libration Painovoiman laajuus Kozai-efekti Jarkovski-efekti Dzhanibekovin vaikutus

Astrodynamiikka

Avaruuslento	avaruuden nopeus ensimmäinen (ympyrä) toinen (parabolinen) kolmas neljäs Tsiolkovskyn kaava Painovoiman liike Hohmannin lentorata Elementtien oskulointimenetelmä Vuorovesikiihtyvyys Orbitaalin kaltevuuden muutos Planeettojen välinen liikenneverkko Telakointi Lagrangen pisteet Pioneeriefekti
SC kiertoradalla	geostationaarinen kiertorata Heliosentrinen kiertorata geosynkroninen kiertorata geosentrinen kiertorata geosiirtorata Matala maan kiertorata napainen kiertorata Rata "Tundra" Auringon synkroninen kiertorata Rata "Salama" Oskuloiva kiertorata