Borelin konvergenssi

Borel -konvergenssi on ranskalaisen matemaatikon Emile Borelin ehdottaman sarjakonvergenssin yleistys . Borel-nimeen liittyy kaksi eri määritelmää.

Määritelmä

Olkoon lukusarja annettu . Sarjaa kutsutaan Borel-konvergentiksi (tai B -konvergentiksi), jos sille on raja : $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

\lim _{x\to \infty }e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!)}}S_{ k }=S,

missä S k ovat sarjan osasummat. Lukua S kutsutaan sitten sarjan Borel-summaksi.

Olkoon lukusarja annettu . Sarjaa kutsutaan Borelin konvergentiksi (tai B ' -konvergentiksi), jos on integraali : $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!)}}t^{n}=S

Esimerkki

Tarkastellaan sarjaa Tämä sarja on divergentti mielivaltaiselle . Kuitenkin Borel-konvergenssin integraalimääritelmien mukaan meillä on: $\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}.$ $x\neq 0.$

\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}=\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n=0}^{\ infty }(xt)^{n}=\int _{0}^{\infty }dt{\frac {e^{-t)){1-xt)),

ja summa on spesifinen x :n negatiivisille arvoille .

Ominaisuudet

Anna toiminnon:

{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k))

on säännöllinen nollassa ja C on kaikkien sen singulaaripisteiden joukko . Jokaisen pisteen kautta piirretään segmentti ja suora viiva , joka kulkee pisteen P läpi kohtisuorassa . Joukko pisteitä, jotka sijaitsevat samalla puolella nollan kanssa jokaiselle suorille viivoille, on merkitty . Tällöin alueen rajaa kutsutaan funktion f(z) Borel-polygoniksi ja aluetta sen sisäalueeksi. Lause on totta: sarja $P\in C$ $OP$ $L_{p}\,,$ $OP$ $L_{p}\,,$ $\Pi$ $\Gamma$ $\Pi$ $\Pi$

{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k))

on B -konvergentti toimialueella eikä B -konvergentti toimialueella - täytetty kohtaan . $\Pi$ $\Pi ^{*}$ $\Pi$

Katso myös

Linkit

Borel-summausmenetelmä , Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Borelin summaus

Kirjallisuus

Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. Osa 2. - Toim. 6-on, stereotyyppinen. - M.: Nauka, 1966
Hardy G., Divergent-sarja, käänn. Englannista, M., 1951.
Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .