Konvergenssi Cesaron mukaan

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11.5.2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Cesaron mukaan konvergenssi on italialaisen matemaatikko Ernesto Cesaron [1] käyttöönoton yleistys numeeristen ja funktionaalisten sarjojen konvergenssista . Itse asiassa on olemassa koko joukko määritelmiä parametrista k riippuen . Cesaro määritteli ensin konvergenssin parametrin k positiivisille kokonaislukuarvoille ja sovelsi sitä sarjaan. Myöhemmin Cesaron mukaan konvergenssin käsite laajennettiin mielivaltaisiin k :n arvoihin , mukaan lukien kompleksiset arvot . Cesaron mukaisilla menetelmillä summan löytämiseksi on lukuisia sovelluksia: sarjan kertomisessa, Fourier-sarjan teoriassa ja muissa asioissa.

Määritelmä

Sarjan sanotaan olevan Cesaron konvergentti kertaluvun k tai (C, k) -konvergentti summan S kanssa, jos: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

\lim _{{n\to \infty }}{\frac {A_{n}^{k}}{E_{n}^{k}}}=S

jossa ne määritellään laajenemiskertoimiksi: $A_{n},E_{n}$

\sum _{{n=0}}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{{n=0}}^{\ infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{{1+\alpha }}}},

\sum _{{n=0}}^{\infty }E_{n}^{\alpha }x^{n}=(1-x)^{{-1-\alpha }},

Ominaisuudet

Kun k = 0 , Cesaron konvergenssi on sarjan tavallinen konvergenssi, kun k = 1 , sarja konvergoi summan S kanssa, jos missä ovat sarjan osasummat. $\lim _{{n\to \infty }}{\frac {1}{n}}\sum _{{j=1}}^{n}s_{j}=S,$ $s_{j}=a_{1}+\cdots +a_{j}$

Menetelmät (C, k) sarjan summan löytämiseksi ovat täysin säännöllisiä :lle eivätkä ne ole säännöllisiä . Menetelmän vahvuus kasvaa k :lla: jos sarja on konvergentti k :lle , niin se on konvergentti samalla summalla k ' :lle k ' > k > −1 . $k\geq 0$ $k<0$

Jos k <-1 , tämä ominaisuus ei säily.

Jos sarja on (C, k) -konvergoiva, niin . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $a_{n}=o(n^{k})$

Cesaron konvergenssi (C, k) on ekvivalentti ja yhteensopiva Hölderin (H, k) ja Reesin (R, n, k) konvergenssin (k >0) kanssa. Jokaiselle k > −1 :lle menetelmä (C, k) on heikompi kuin Abel-menetelmä .

Esimerkki

Olkoon a n = (-1) n+1 , kun n ≥ 1. Eli { a n } on sekvenssi

1,-1,1,-1,\ldots .

Osasummien sekvenssi { s n } on muotoa:

{\näyttötyyli 1,0,1,0,\ldots ,}

ja on selvää, että tämä sarja ei lähenty tavallisessa merkityksessä. Mutta sekvenssin {( s 1 + … + s n )/ n } jäsenet ovat

{\frac {1}{1)),\,{\frac {1}{2)),\,{\frac {2}{3)),\,{\frac {2}{4)), \,{\frac {3}{5)),\,{\frac {3}{6)),\,{\frac {4}{7)),\,{\frac {4}{8} },\,\ldots ,

ja yhteensä

\lim _{{n\to \infty }}{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2.

Siksi sarja on Cesaro-konvergentti parametrin 1 kanssa ja sen summa on 1/2. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Cesaro E., "Härkä. sci. matematiikka.", 1890, t. 14, nro 1, s. 114-20;

Linkit

Konvergenssi Cesaron (englanniksi) mukaan PlanetMath-verkkosivustolla .

Kirjallisuus

Matemaattinen tietosanakirja / Toim. I. M. Vinogradova. Osa 5 - M .: Nauka, 1985
Baron S. A., Johdanto sarjojen summateoriaan, 2. painos, Tallinna , 1977.
Sigmund A., Trigonometrinen sarja, käänn. englannista, osa 1, M., 1965;
Fikhtengol'ts GM Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi . Osa 2. - Toim. 6-on, stereotyyppinen. - M.: Nauka, 1966
Xapdi G., Divergent-sarja, käänn. Englannista, M., 1951;
Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .