Hahmotaulukko

Merkkitaulukko on kaksiulotteinen taulukko, jonka rivit vastaavat ryhmän redusoitumattomia esityksiä ja sarakkeet vastaavat ryhmän elementtien konjugaatioluokkia. Matriisin elementit koostuvat merkeistä , matriisijäljistä , jotka edustavat sarakeluokan elementtiryhmää rivillä määritetyssä ryhmäesityksessä.

Kemiassa , kristallografiassa ja spektroskopiassa pisteryhmien merkkitaulukoita käytetään luokittamaan esimerkiksi molekyylien värähtelyt niiden symmetrian mukaan ja ennustamaan, olisiko siirtyminen tilasta toiseen kiellettyä symmetrisistä syistä.

Määritelmä ja esimerkki

Äärillisen ryhmän pelkistymättömät kompleksiset merkit muodostavat merkkitaulukon , joka koodaa paljon hyödyllistä tietoa ryhmästä G kompaktissa muodossa. Jokainen rivi on merkitty pelkistymättömällä merkillä ja rivin elementit ovat ryhmän G vastaavien konjugaatioluokkien esityksissä olevan merkin arvoja (koska merkit ovat -luokkien funktioita ). Sarakkeet on merkitty ryhmän G konjugaatioluokilla (edustajilla) . Yleensä ensimmäinen rivi on merkitty triviaalimerkillä, ja ensimmäinen sarake on merkitty neutraalin elementin (konjugasiteettiluokka) -merkillä . Ensimmäisen sarakkeen elementit ovat pelkistymättömien merkkien arvot neutraalissa elementissä, pelkistymättömien merkkien asteet . Ensimmäisen asteen merkit tunnetaan lineaarisina merkeinä .

Alla on merkkitaulukko C 3 = <u> sykliselle ryhmälle, jossa on kolme elementtiä ja generaattori u :

	(yksi)	(u)	(u 2 )
yksi	yksi	yksi	yksi
${\näyttötyyli \chi _{1))$	yksi	$\omega$	$\omega ^{2}$
${\näyttötyyli \chi _{2))$	yksi	$\omega ^{2}$	$\omega$

missä on yhtenäisyyden primitiivinen kuutiojuuri. Yleisten syklisten ryhmien merkkitaulukko on (skalaariin asti) DFT-matriisi . $\omega$

Toinen esimerkki on ryhmämerkkitaulukko : $S_{3}$

	(yksi)	(12)	(123)
${\näyttötyyli \chi _{triv))$	yksi	yksi	yksi
${\displaystyle \chi _{sgn))$	yksi	$-$ yksi	yksi
$\chi _{stand}$	2	0	$-$ yksi

jossa (12) edustaa konjugasiteettiluokkaa, joka koostuu ryhmistä (12), (13), (23) ja (123) edustaa konjugasiteettiluokkaa, joka koostuu ryhmistä (123), (132). Symmetristen ryhmien merkkitaulukoista voit lukea artikkelista Symmetristen ryhmien lineaaristen esitysten teoria .

Merkkitaulukon ensimmäinen rivi koostuu aina ykkösistä ja vastaa triviaaliesitystä (yksiulotteinen esitys, joka koostuu 1×1 matriiseista, joissa 1 on ainoana elementtinä). Lisäksi merkkitaulukko on aina neliö, koska (1) redusoitumattomat merkit ovat pareittain ortogonaalisia ja (2) mikään muu ei-triviaali funktioluokka ei ole ortogonaalinen kaikille merkkeille. Tämä liittyy siihen tärkeään tosiasiaan, että äärellisen ryhmän G redusoitumattomilla esityksillä on bijektio konjugasiteettiluokkien kanssa. Tämä bijektio johtuu myös siitä, että luokkasummat muodostavat perustan ryhmän G ryhmäalgebran keskipisteelle, jonka ulottuvuus on yhtä suuri kuin ryhmän G pelkistymättömien esityksiä .

Ortogonaalisuussuhteet

Äärillisen ryhmän G luokkien kompleksiarvoisten funktioiden avaruudella on luonnollinen skalaaritulo:

\left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\ yliviivaus {\beta (g)}}

jossa tarkoittaa g : n arvon kompleksista konjugaattia . Kun tämä sisätulo on annettu, pelkistymättömät merkit muodostavat ortonormaalin perustan luokkafunktioiden avaruudelle ja antavat ortogonaalisuussuhteen taulukon merkkiriveille: ${\overline {\beta (g)))$ $\beeta$

\left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&i\neq j,\\1&i=j.\end{cases))

Sarakkeiden ortogonaalisuussuhde on seuraava : $g,h\in G$

\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)))={\begin{cases}\left|C_{ G}(g)\right|,&g={\overline {h}}\\0&g\neq {\overline {h}}\end{cases}}

jossa summa on yli kaikkien ryhmän G pelkistymättömien merkkien ja symboli tarkoittaa keskittimen järjestystä . $\chi _{i}$ $\left|C_{G}(g)\right|$ $g$

Tuntematon merkki on redusoitumaton silloin ja vain jos . $\chi _{i}$ $\left\langle \chi _{i},\chi _{i}\right\rangle =1$

Ortogonaalisuussuhteita voidaan käyttää:

Tuntemattoman merkin laajentamiseen pelkistymättömien merkkien lineaarisena yhdistelmänä.
Täydellisen merkkitaulukon rakentaminen, jos vain osa redusoitumattomista merkeistä tunnetaan.
Löytää ryhmän konjugaatioluokkien edustajien keskittäjien järjestykset.
Ryhmän järjestyksen löytäminen.

Tarkemmin sanottuna tarkastelemme säännöllistä esitystä, joka on äärellisen ryhmän G permutaatio. Tämän esityksen merkit eivät myöskään ole g:lle yhtä kuin yksi. Sitten pelkistymättömäksi esitykseksi , $\chi (e)=\left|G\right|$ ${\näyttötyyli \chi (g)=0}$ $V_i$

\left\langle \chi _{\text{reg)),\chi _{i}\right\rangle ={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g \in G}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{\text{reg}}(g)))={\frac {1}{\left|G\right|}}\ chi _{i}(1){\overline {\chi _{\text{reg}}(1)}}=\operaattorinimi {dim} V_{i}

Laajentamalla säännöllisiä esityksiä ryhmän G pelkistymättömien esitysten summana saadaan . Tästä päätämme $V_{\text{reg}}=\oplus V_{i}^{\operaattorin nimi {dim} V_{i}}$

\left|G\right|=\operaattorin nimi {dim} V_{\text{reg}}=\sum (\operaattorin nimi {dim} V_{i})^{2}

kaikissa redusoitumattomissa esityksissä . Summa voi auttaa vähentämään redusoitumattomien esitysten ulottuvuutta merkkitaulukossa. Esimerkiksi, jos ryhmällä on astetta 10 ja 4 konjugaatioluokkaa (esimerkiksi 10 asteen dihedraaliryhmä), ainoa tapa ilmaista ryhmän järjestys neljän neliön summana on , joten tiedämme ryhmän mitat. kaikki redusoitumattomat esitykset. $V_i$ $10=1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}$

Ominaisuudet

Monimutkainen konjugaatio vaikuttaa merkkitaulukkoon - koska esityksen monimutkainen konjugaatio on jälleen esitys, sama pätee merkkeihin, ja sitten merkkejä, jotka ottavat ei-triviaaleja kompleksisia arvoja, on konjugoituja merkkejä.

Joitakin G -ryhmän ominaisuuksia voidaan päätellä merkkitaulukosta:

Ryhmän G järjestys määräytyy ensimmäisen sarakkeen alkioiden neliöiden summalla (vähentämättömien merkkien asteet). (Katso Schur Lemman soveltaminen .) Yleisemmin minkä tahansa sarakkeen alkioiden absoluuttisten arvojen neliöiden summa antaa vastaavan konjugaatioluokan elementin keskittäjän järjestyksen.
Merkkitaulukosta voidaan tunnistaa kaikki G :n normaalit alaryhmät (ja myös onko G yksinkertainen). Merkin ydin on ryhmän G elementtijoukko g , jolle . Tämä on ryhmän G normaali alaryhmä . Mikä tahansa ryhmän G normaali aliryhmä on G :n joidenkin redusoitumattomien merkkien ytimien leikkauspiste . $\chi$ ${\näyttötyyli \chi (g)=\chi (1)}$
Ryhmän G generoitu aliryhmä on ryhmän G lineaaristen merkkien ytimien leikkauspiste . Erityisesti G on Abelin, jos ja vain jos kaikki sen redusoitumattomat merkit ovat lineaarisia.
Joistakin Richard Brouwerin tuloksista modulaaristen esitysten teoriassa [ seuraa, että äärellisen ryhmän kunkin konjugaatioluokan alkioiden järjestyksen alkujakajat voidaan johtaa ryhmän merkkitaulukosta ( Graham Higmanin havainto ).

Merkkitaulukko ei yleensä määrittele ryhmää isomorfismiin asti . Esimerkiksi kvaternioniryhmällä Q ja 8 -alkioisella dihedraaliryhmällä ( D4 ) on sama merkkitaulukko. Brouwer kysyi, määrittääkö merkkitaulukko yhdessä sen kanssa, kuinka konjugaattisuusluokkien elementtien potenssit jakautuvat, rajallisen ryhmän isomorfismiin asti. Vuonna 1964 E. K. Dade vastasi kysymykseen kieltävästi.

Lineaariset merkit muodostavat merkkiryhmän , jolla on tärkeä yhteys lukuteoriaan .

Ulkoiset automorfismit

Ulkoisten automorfismien ryhmä vaikuttaa merkkitaulukkoon permutoimalla sarakkeita (konjugaatioluokkia) ja vastaavasti rivejä, jotka antavat taulukolle erilaisen symmetrian. Esimerkiksi Abelin ryhmillä on ulompi automorfismi, joka on ei-triviaali paitsi alkeis-Abelin 2-ryhmät , ja ulompi, koska Abelin ryhmät ovat juuri niitä, joiden konjugaatiot (sisäiset automorfismit) toimivat triviaalisesti. Yllä olevassa esimerkissätämä kartta kääntääja vastaavasti vaihtaaja(järjestää niiden arvotja). Huomaa, että tämä automorfismi (käänteinen Abelin ryhmissä) on yhdenmukainen monimutkaisen konjugoinnin kanssa. $g\mapsto g^{-1}$ $C_{3}$ $u\mapsto u^{2},u^{2}\mapsto u,$ ${\näyttötyyli \chi _{1))$ ${\näyttötyyli \chi _{2))$ $\omega$ $\omega ^{2}$

Muodollisesti jos on ryhmän G automorfismi ja on esitys, niin se on esitys. If on sisäinen automorfismi (konjugaatio jonkin elementin a kanssa ), niin se vaikuttaa triviaalisti esityksiin, koska esitykset ovat funktioluokkia (konjugaatio ei muuta niiden arvoa). Tämä antaa luokan ulkoisia automorfismeja, jotka vaikuttavat hahmoihin. $\phi \colon G\to G$ $\rho \colon G\to \operaattorinimi {GL}$ $\rho ^{\phi }:=g\mapsto \rho (\phi (g))$ ${\displaystyle \phi =\phi _{a))$

Tätä relaatiota voidaan käyttää kahdella tavalla: ulkoisella automorfismilla voidaan tehdä uusia esityksiä ja päinvastoin voidaan kaventaa mahdollisia ulkoisia automorfismeja merkkitaulukon perusteella.

Muistiinpanot

Kirjallisuus

I. Martin Isaacs. Äärillisten ryhmien luonneteoria. – Dover, 1976.
Rowland, Todd; Weisstein, Eric W. Character Table (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .