Vallankumouksen kiinteät osat

Kierroskappaleet ovat kolmiulotteisia kappaleita, jotka syntyvät tasaisen geometrisen kuvion pyöriessä, jota rajoittaa samassa tasossa olevan akselin ympärillä oleva käyrä [1] .

Esimerkkejä vallankumouksen kiinteistä aineista

Pallo - muodostuu puoliympyrästä, joka pyörii leikkauksen halkaisijan ympäri
Sylinteri - muodostuu suorakulmiosta, joka pyörii yhden sivun ympäri

Sylinterin sivupinnan alueelta otetaan sen kehitysalue:

S_{bok}=2\pi rh

Kartio - muodostuu suorakulmaisesta kolmiosta, joka pyörii yhden jalan ympärillä

Kartion sivupinnan alueelta otetaan sen kehitysalue:

S_{bok}=\pi rl

Kartion kokonaispinta-ala:

S_{full}=\pi r(r+l)

Torus muodostuu ympyrästä, joka pyörii suoran ympärillä, joka ei leikkaa sitä [2]

Kun kuvioiden ääriviivoja kierretään, syntyy pyörimispinta (esimerkiksi ympyrän muodostama pallo ), kun taas täytetyn ääriviivan pyöriessä syntyy kappaleita (kuten ympyrän muodostama pallo ).

Vallankumouksen kappaleiden määrä

Kierto x-akselin ympäri

Kuvion akselin ympäri kiertämällä muodostuneen kappaleen tilavuus, jota rajoittaa funktion kuvaaja välissä , akselilla ja suorilla ja , on yhtä suuri: $x$ $y=f(x)$ $[a;b]$ $x$ $x=a$ $x=b$

V_{x}=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)dx

Kierto y-akselin ympäri

Kuvion akselin ympäri kiertämällä muodostuneen kappaleen tilavuus, jota rajoittaa funktion kuvaaja välissä , akselilla ja suorilla ja , on yhtä suuri: $y$ $y=f(x)$ $[a;b]$ $x$ $x=a$ $x=b$

V_{y}=2\pi \int _{a}^{b}xf(x)dx

Guldinin lause

Kierroskappaleiden tilavuus ja pinta-ala voidaan selvittää myös Guldin-Pappa-lauseiden avulla , jotka yhdistävät alueen tai tilavuuden kuvion massakeskipisteeseen .

Ensimmäinen Guldin-Papp lause sanoo:

Pinta-ala, joka muodostuu tasossa kokonaan pyörimisakselin toisella puolella olevan linjan pyörimisen aikana, on yhtä suuri kuin suoran pituuden ja tämän linjan massakeskipisteen kulkeman ympyrän pituuden tulo .

Toinen Guldin-Pappa -lause sanoo:

Täysin tasossa pyörimisakselin toisella puolella olevan hahmon pyörimisen aikana muodostuneen kappaleen tilavuus on yhtä suuri kuin hahmon pinta-alan tulo keskipisteen kulkeman ympyrän pituudella tämän luvun massasta .

Kirjallisuus

A. V. Pogorelov. "Geometria. 10-11 luokka» § 21. Vallankumouksen ruumiit. – 2011

Muistiinpanot

↑ A. V. Pogorelov. §21. Vallankumouksen kappaleet // Geometria. 10-11 luokka. – 2011.
↑ Matematiikka. Encyclopedia for Children, osa 11 ISBN 5-94623-072-7