Hadamardin epätasa-arvo

Hadamardin epäyhtälö (myös Hadamardin lause determinanteista [1] ) määrittää kappaleen tilavuuden ylärajan euklidisessa avaruudessa vektoreilla . Nimetty Jacques Hadamardin mukaan . $n$ $n$

Sanamuoto

Olkoon , ja matriisi , jonka sarakkeet ovat vektoreita . Sitten $v_{i}\in \mathbb{R} ^{n},\;i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ $M$ $v_{i}:i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$

|\det(M)|\leqslant \prod _{{i=1}}^{n}{||v_{i}||}_{2},

missä on vektorin euklidinen normi . ${||\cdot ||}_{2}$

Toisin sanoen geometrian näkökulmasta -ulotteisen kappaleen tilavuus on suurin, kun sen määrittelevät vektorit ovat keskenään kohtisuorassa. $n$

Lemma

Todistamme ensin pienen lemman:

Jos mittamatriisi on positiivinen definitiivinen , niin $A$ $n\ kertaa n$

|A|\leqslant a_{{11}}a_{{22}}\ldots a_{{nn}}.

Lemman todiste

Determinantti voidaan esittää muodossa $|A|$

|A|=a_{{11}}{\begin{vmatrix}a_{{22}}&\lpisteet &a_{{2n}}\\a_{{32}}&\lpisteet &a_{{3n}}\\ \lpisteet &\lpisteet &\lpisteet \\a_{{n2}}&\lpisteet &a_{{nn}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&a_{{12}}&\lpisteet &a_{{ 1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\lpisteet &a_{{2n}}\\\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet \\a_{{n1}}&a_{{ n2}}&\lpisteet &a_{{nn}}\end{vmatrix}}.

Koska se on positiivinen definiitti, niin matriisi, joka on summan ensimmäinen termi, on myös positiivinen definiitti, joten muuttujien neliömuoto , joka on toinen termi, ei ole positiivinen definiitti. Tämän takia $A$ $a_{{12}},\;a_{{13}},\;\ldots ,\;a_{{1n}}$

|A|\leqslant a_{{11}}{\begin{vmatrix}a_{{22}}&\lpisteet &a_{{2n}}\\a_{{32}}&\lpisteet &a_{{3n}}\ \\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet \\a_{{n2}}&\lpisteet &a_{{nn}}\end{vmatrix}}.

Siten induktiota käyttämällä saamme halutun tuloksen.

Todiste Hadamardin epätasa-arvosta

Hadamardin epäyhtälön todistamiseksi on tarpeen soveltaa todistettua lemmaa muodon positiiviseen määrättyyn neliömatriisiin . $A=MM^{T}$

Matriisit, joiden determinantit saavuttavat Hadamardin rajan

Kombinatoriikassa matriiseja , joiden alkiot pätee Hadamardin epäyhtälössä yhtäläisyyteen, kutsutaan Hadamard-matriiseiksi . Siten tällaisten matriisien modulodeterminantti on . Tällaisista matriiseista saadaan Hadamard-koodit . $\{+1,\;-1\}$ $n^{{{\frac {n}{2))))$

Katso myös

Plotkin raja

Muistiinpanot

↑ Hadamardin lause // Matemaattinen tietosanakirja / I. M. Vinogradov. – 1977.

Kirjallisuus

R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis , SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, § 7, 1997.
FJ MacWilliams ja NJA Sloane, Theory of Error-Correcting Codes , Amsterdam, Alankomaat, Pohjois-Hollanti, § 2.3, 1977.
EF Beckenbach ja R. Bellman, Inequalities , Berlin-Göttingen-Heidelberg, Saksa, Ch. 2, § 11, 1961.