Cayleyn lause (ryhmäteoria)

Ryhmäteoriassa Cayleyn lause sanoo, että mikä tahansa äärellinen ryhmä on isomorfinen tämän ryhmän elementtijoukon permutaatioryhmän jollekin alaryhmälle . Tässä tapauksessa kutakin elementtiä verrataan identiteetin antamaan permutaatioon, jossa g on mielivaltainen ryhmän G elementti . $(G,\circ )$ $a\in G$ $\pi _{a}$ $\pi _{a}(g)=a\circ g,$

Todiste

Antaa olla rajallinen ryhmä järjestystä . Meidän täytyy rakentaa isomorfismi alkaen permutaatioalaryhmään . Tätä varten riittää, että liitetään jokaiseen ryhmän G elementtiin g itse G:n elementtien permutaatio (voidaan tunnistaa G:n permutaatio minkä tahansa muun joukon permutaatiolla käyttämällä niiden elementtien yksi-yhteen vastaavuutta) . Toisin sanoen sinun on rakennettava funktio , jossa on kokoelma G:n permutaatioita. Ryhmä määritetään kertomalla vasemmalla . $G$ $n$ $G$ $S_{n}$ $\varphi :G\rightarrow S_{G}$ $S_{G}$ $\varphi (g):G\rightarrow G$ $(\varphi (g))(x)=gx$

Osoittakaamme, että olemme saaneet permutaation. Jos , niin , koska G on ryhmä, erityisesti, kaikki sen elementit ovat käänteisiä (on olemassa ). Lisäksi ryhmän x elementtiin kohdistuva toiminta on yhtä suuri ja tämä on yhtä suuri G:n assosiatiivisuuden kannalta. Lopuksi, jos, niin ja siksi on injektiivinen (1-1). $gx=gy$ $x=y$ $g^{{-1}}$ $\varphi (gh)$ $\ (\varphi (gh))(x)=(gh)x$ $\varphi (g)(\varphi (h)(x))=\varphi (g)(hx)=g(hx)$ $\varphi (g)=\varphi (h)$ $g=\varphi (g)(1)=\varphi (h)(1)=h$ $\varphi$

Esimerkki

Tarkastellaan ryhmää , jolla on tietty operaatio. Etsi sen kuvaus eli etsi isomorfinen alaryhmä ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4))$ $+.$ $S_{4},$ $S_{4},$ $G.$

Määrittelemme kartoitus $\varphi :\mathbb {Z} _{4}\rightarrow S_{4}$

\varphi (0)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmatrix}}

\varphi (1)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmatrix}}

\varphi (2)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmatrix}}

\varphi (3)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmatrix}}

Tässä konstruktiossa kunkin permutaatio asettaa "lisäystaulukon" numerolla . Esimerkiksi luku 2 in menee summaan (ryhmäoperaatio ) 2 (itse luku) ja 1 (sen ryhmän elementti, jolle permutaatio määritetään). Siten määrittelee identiteettikartoituksen . $\varphi (n)$ $n$ $n$ $\varphi (1)$ ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4))$ $\varphi (0)$ $\mathrm {id} _{G}(g)=g$

Kartoitus on homomorfismi . Esimerkiksi . Erityisesti homomorfismin ominaisuuksista seuraa, että tuloksena olevien permutaatioiden joukko muodostaa ryhmän. $\varphi$ $\varphi (1)^{2}=\varphi (2)=\varphi (1+1)$

Kirjallisuus

Jacobson, Nathan (2009), Perusalgebra (2. painos), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .
Aleksandrov PS Johdatus ryhmäteoriaan. Kvanttikirjasto. Ongelma. 7. M.: Nauka, 1980.