Lagrangen lause (lukuteoria)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. joulukuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Lukuteoriassa Lagrangen lause on Joseph-Louis Lagrangen mukaan nimetty lausunto ehdoista, joissa kokonaislukukertoimien polynomin arvo voi olla kiinteän alkuluvun kerrannainen .

Sanamuoto

Jos on alkuluku , on astepolynomi kokonaislukukertoimilla , niin [1] : $s$ $f(x)$ $n$

tai kaikki kertoimet ovat kerrannaisia $f(x)$ $p;$
tai vertailussa on korkeintaan ratkaisuja. $f(x)\equiv 0{\pmod {p))$ $n$

Muistiinpanot

Jos kaikki kertoimet ovat kerrannaisia , mikä tahansa arvo on ratkaisu annettuun vertailuun. $f(x)$ $p,$ $x$
Moduulin yksinkertaisuus on olennaista; yhdistelmämoduulille lause ei yleisesti ottaen pidä paikkaansa. Esimerkiksi vertailu: siinä on 4 ratkaisua [2] : $s$ $x^{2}-1\equiv 0{\pmod {8}}$ $x\equiv 1;3;5;7{\pmod {8)).$

Todistus Lagrangen lauseesta

Olkoon polynomi renkaan yli, joka saadaan korvaamalla jokainen kerroin vastaavalla jäännösluokan modulolla $g(x)$ $\mathbb {Z} /p$ $f(x)$ $s.$

Lemma 1. on jaollinen jos ja vain jos Todistus . Jos on jaollinen silloin ja , rakentamisen mukaan, kuuluu samaan jäännösluokkaan kuin se on nollaluokassa. Ja päinvastoin, jos tämä laskelma antaa tuloksen jäännösluokasta, joka sisältää eli jaollisen ■ :llä $fa)$ $s$ $g(a)=0.$ $fa)$ $p,$ $g(a)$ $p,$ $g(a)=0,$ $fa)$ $p,$ $s.$

Lemma 2. Polynomilla , jos se ei ole nollapolynomi, ei voi olla enempää juuria. Todiste. Koska on alkuluku, on kenttä ja minkä tahansa kentän nollasta poikkeavalla astepolynomilla on enintään juuret, koska jokainen juuri lisää monomin polynomin laajennukseen. $g(x),$ $n$ $s$ $\mathbb {Z} /p$ $n$ $n$ $r$ $(xr).$

Todistus lauseesta . Jos on nollapolynomi, niin tämä tarkoittaa rakenteensa mukaan, että kaikki kertoimet ovat kerrannaisia . Muuten ensimmäisestä lemmasta seuraa, että itseisarvoltaan vertaansa vailla olevan yhtälön ratkaisujen määrä osuu yhteen polynomin juurien määrän kanssa joka toisen lemman mukaan ei ylitä ■ $g(x)$ $f(x)$ $s.$ $n$ $f(x)\equiv 0{\pmod {p))$ $g(x).$ $n.$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Lagrangen lause ei päde ainoastaan kokonaislukurenkaan ylittäville polynomeille , vaan myös minkä tahansa muun eheysalueen polynomeille [ 3] . ${\mathbb {Z}),$

Muistiinpanot

↑ Vinogradov, 1952 , s. 60.
↑ Davenport, 1965 , s. 55.
↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , s. 174.

Kirjallisuus

Vinogradov I.M. Numeroteorian perusteet. - M. - L .: GITTL, 1952. - S. 60-65. – 180 s.
Davenport G. Korkeampi aritmetiikka / toim. Yu. V. Linnik , käänn. B. Z. Moroz - M .: Nauka , 1965. - S. 54-55. — 176 s.
Lagrangen lause // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa) . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 3. - S. 174.