Nagumon lause

Nagumon teoreema on olemassaolon lause ensimmäisen tyyppisen raja -arvoongelman ratkaisulle toisen asteen tavalliselle differentiaaliyhtälölle , joka ratkaistaan suhteessa korkeimpaan derivaattaeseen . Kuuluu japanilaiselle matemaatikolle Michio Nagumolle [1] . Se on yksi differentiaaliepäyhtälöiden menetelmän teoreemoista .

Lauseen lause

Tarkastellaan seuraavaa toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä ensimmäisen tyypin reunaehtojen kanssa:

y''=f(x,y,y'),\quad x\in (a,b),

(1.1)

y(a)=y^{a},\quad y(b)=y^{b}.

(1.2)

Muodostaaksemme Nagumon lauseen ongelmalle (1.1-1.2) tarvitsemme useita määritelmiä.

Olkoon funktio määritelty kaikille , joissa . $f(x,y,z)$ $(x,y,z)\in {\mathfrak {B}}\times \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}\subset \mathbb {R} ^{2}$

Määritelmä. Sanotaan, että funktio kuuluu joukossa Nagumo-funktioiden luokkaan [2] ja kirjoitetaan , jos on olemassa positiivinen jatkuva funktio , joka $f(x,y,z)$ ${\mathfrak B}$ $f\in N({\mathfrak {B}})$ $\varphi (u)$

1)\ \forall (x,y,z)\in {\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} \Rightarrow |f(x,y,z)|\leqslant \varphi (|z) |),

(2.1)

2)\ \int _{0}^{\infty }{\frac {u\,du}{\varphi (u)))=+\infty .

(2.2)

Määritelmä. Tehtävän (1.1–1.2) alempi ja ylempi (este)ratkaisut ovat vastaavasti funktioita ja , jotka kuuluvat ryhmään , ja sellaisia, että ${\alleviivaus {\omega }}(x)$ ${\overline {\omega ))(x)$ $C^{2}(a,b)\cap C[a,b]$

1){\begin{array}{c}{\alleviivaus {\omega }}(a)<y^{a}<{\overline {\omega }}(a),\\[.5ex] {\alleviivaus {\omega }}(b)<y^{b}<{\overline {\omega }}(b);\end{array}}

(3.1)

2){\begin{array}{c}{\alleviivaus {\omega }}''(x)>f(x,{\alleviivaus {\omega }}(x),{\alleviivaus {\omega }}'(x)),\\[.5ex]{\overline {\omega }}''(x)<f(x,{\overline {\omega }}(x),{\overline {\omega }}'(x)),\end{array}}\ \forall x\in (a,b).

(3.2)

Määritelmä. Klassinen ratkaisu tehtävään (1.1–1.2) on funktio , joka kuuluu yhtälöön (1.1) ja täyttää sen jokaiselle rajaehdolle (1.2) . $y(x)$ $C^{2}(a,b)\cap C[a,b]$ $x\in(a,b)$

Lause (Nagumo). Olkoon tehtävän (1.1–1.2) alempi ja ylempi ratkaisu niin, että ${\alleviivaus {\omega }}(x)$ ${\overline {\omega ))(x)$

1)\ \forall x\in [a,b]\Rightarrow {\underline {\omega }}(x)<{\overline {\omega }}(x),

(4.1)

2)\ f(x,y,z)\in C^{0,1,1}({\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} )\cap N({\mathfrak {B }}),

(4.2)

missä . Sitten on olemassa ainakin yksi klassinen ongelman ratkaisu (1.1–1.2) , joka kuuluu esteratkaisuihin ja on niiden välissä : ${\mathfrak {B}}\equiv [a,b]\times [{\alleviivaus {\omega }}(x),{\overline {\omega }}(x)]$ $y(x)$ $C^{2}[a,b]$ ${\alleviivaus {\omega }}(x)$ ${\overline {\omega ))(x)$

\forall x\in [a,b]\Rightarrow {\underline {\omega }}(x)<y(x)<{\overline {\omega }}(x).

(4.3)

Lauseen todistus

Nagumon lauseen todistus perustuu ammuntamenetelmään ja käyttää seuraavia lemmoja.

Lemma 1. Antaa olla suljettu rajattu verkkotunnuksen tasossa ja anna . Sitten mikä tahansa yhtälön (1.1) integraalikäyrä, joka kulkee alueen sisäpisteen kautta, voidaan laajentaa molempiin suuntiin tämän alueen rajalle. ${\mathfrak B}$ $(x,y)$ $f(x,y,z)\in C({\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} )\cap N({\mathfrak {B}})$ ${\mathfrak B}$

Katso myös

Ampumismenetelmä

Muistiinpanot

↑ Nagumo M. Über die differentenzialgleichung . - s. 864-865. $y''=f(x,y,y')$
↑ F. Hartmanin työssä on käytetty termiä Nagumo-funktio - katso Hartman Ph. Raja-arvoongelmista tavallisten, epälineaaristen, toisen asteen differentiaaliyhtälöiden järjestelmissä. - s. 494.

Kirjallisuus

Nagumo M. Über die differenzialgleichung $y''=f(x,y,y')$ (saksa) // Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. 3. sarja. - 1937. - Bd. 19 , ei. 10 . - S. 861-866 . - ISSN 0370-1239 .

Hartman Ph. Raja-arvoongelmista tavallisten, epälineaaristen, toisen asteen differentiaaliyhtälöiden järjestelmissä // Transactions of the American Mathematical Society. - 1960. - Voi. 96 , no. 3 . - s. 493-509 . - ISSN 0002-9947 .

Akô K. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden alifunktiot (englanniksi) // Tokion yliopiston luonnontieteiden tiedekunnan lehti. Osa 1, Matematiikka, tähtitiede, fysiikka, kemia. - 1965. - Voi. 12 . - s. 17-43 . - ISSN 0368-2269 .

Akô K. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden osafunktiot, II // Funkcialaj Ekvacioj (Kansainvälinen sarja) . - 1967. - Voi. 10 , ei. 2 (syyskuu) . - s. 145-162 . - ISSN 0532-8721 .

Akô K. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden osafunktiot, III // Funkcialaj Ekvacioj (Kansainvälinen sarja) . - 1968. - Voi. 11 , ei. 2 (marraskuu) . - s. 111-129 . - ISSN 0532-8721 .

Akô K. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden osafunktiot, IV // Funkcialaj Ekvacioj (Kansainvälinen sarja) . - 1969. - Voi. 11 , ei. 3 (helmikuuta) . - s. 185-195 . - ISSN 0532-8721 .

Akô K. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden osafunktiot, V // Funkcialaj Ekvacioj (Kansainvälinen sarja) . - 1970. - Voi. 12 , ei. 3 (helmikuuta) . - s. 239-249 . - ISSN 0532-8721 .

Jackson LK Nagumo-ehto tavallisille differentiaaliyhtälöille // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1976. - Voi. 57 , no. 1 . - s. 93-96 . — ISSN 0002-9939 .

Grossinho M. do Rosário, Minhós F., Santos AI Korkeamman asteen epälineaariset kahden pisteen raja-arvoongelmat merkkityypin Nagumo-ehdon kanssa // Matemaattiset mallit tekniikassa, biologiassa ja lääketieteessä: kansainvälinen konferenssi raja-arvoongelmista: tekniikan matemaattiset mallit, Biologia ja lääketiede (AIP Conference Proceedings) / Toimittajat: Alberto Cabada, Eduardo Liz, Juan J. Nieto. - Melville, NY: AIP , 2009. - Voi. 1124 . - s. 195-204 . - ISBN 978-0-7354-0660-5 . — ISSN 0094-243X . - doi : 10.1063/1.3142933 . (linkki ei saatavilla)

Bailey PB, Shampine LF, Waltman PE Luku 6. Pääasialliset olemassaololauseet, luku 7. Muita olemassaolo- ja ainutlaatuisuustuloksia // Epälineaariset kahden pisteen raja-arvoongelmat . - 1. painos. - 111 Fifth Avenue, NY: Academic Press Inc. , 1968. - Voi. 44. - 172 s. - (Sarja Mathematics in Science and Engineering). - ISBN 978-0-12-073350-7 .