Koko toiminnon suku

Määritelmä

Olkoon koko funktion nollien sarja sellainen, että sarja konvergoi pisteessä , jossa on jokin ei-negatiivinen kokonaisluku (oletetaan, että tämä luku on pienin niistä, joilla on tämä ominaisuus). Sitten Weierstrassin lauseen formulaatiosta saatu ääretön tulo saa muodon: $\{a_{n}\}$ $f$ $\sum _{1}^{\infty }\left({\frac {z}{a_{n}}}\oikea)^{{p_{n}+1}}$ $p_{n}=\rho$ $\rho$

$f(z)=z^{\lambda }e^{{h(z)}}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}} \right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\oikea )^{2}+\pisteet +{\frac {1}{\rho }}\vasen({\frac {z}{a_{n}}}\oikea)^{\rho }\oikea).$

Jos on astepolynomi , niin sitä kutsutaan äärellisen suvun kokonaiseksi funktioksi ja lukua koko funktion suvuksi . Jos ei ole polynomi tai sarja ei suppene missään olosuhteissa, niin se on äärettömän suvun koko funktio . $h(z)$ $\rho_{1}$ $f$ $\max(\rho ;\rho _{1})$ $h$ $f$

Poincarén lause kokonaisen funktion kasvunopeudesta

Sellaisen ominaisuuden kuin suvun merkitys piilee siinä, että sen avulla voidaan arvioida koko funktion kasvunopeutta. Nimittäin, harkitse määrää . Poincarén lauseen väite on, että tämän funktion kasvunopeus liittyy sen sukuun. Nimittäin koko suvun funktiolle ja mielivaltaiselle funktiolle on olemassa sellainen , että , epätasa-arvo pätee . $M(r)=\max _{{|z|=r}}|f(z)|$ $f$ $\rho$ $\alpha >0$ $r_{0}$ $r>r_{0}$ $M(r)<e^{{\alpha r^{{\rho +1))))$