Hardy-Ramanujan lause

Matematiikassa Hardy - Ramanujan-lause [ 1] sanoo, että luvun eri alkujakajien lukumäärän kasvunopeus määräytyy iteroidun logaritmin - funktion mukaan , ja jakajien lukumäärän "sironta" määräytyy tämän funktion neliöjuuri. $\omega(n)$ $n$ $\log(\log(n))$

Lause

Olkoon reaalifunktio sellainen että , ja olkoon luonnollisten lukujen lukumäärä , joille seuraava epäyhtälö pätee $f(n)$ $\lim _{n\to \infty }f(n)=\infty$ $g(x)$ $n<x$

|\omega (n)-\log(\log(n))|<f(n){\sqrt {\log(\log(n))))

tai perinteisempää

|\omega (n)-\log(\log(n))|<{(\log(\log(n)))}^{{\frac {1}{2))+\varepsilon }

, missä

\varepsilon >0

Sitten

\lim _{x\to \infty }{\frac {g(x)}{x}}=1

Pal Turan löysi yksinkertaisen todisteen tälle lauseelle .

Yleistykset ja vahvistukset

Sama tulos pätee myös kaikkien alkutekijöiden lukumäärälle luvun laajennuksessa . $n$

Tämä lause on yleistetty Erdős-Kacin lauseella , joka todistaa, että luonnollisten lukujen eri alkujakajien jakauma on normaali , kun "keskiarvo" ja "varianssi" ovat yhtä suuret . Siten alkujakajien lukumäärän jakauman ja todennäköisyysteorian rajalakien - keskusrajalauseen ja iteroidun logaritmin lain välillä on jokin yhteys . $\log(\log(n))$

Muistiinpanot

↑ Hardy, G. H. & Ramanujan, S. (1917), Luvun alkutekijöiden normaali lukumäärä , Quarterly Journal of Mathematics, osa 48: 76–92 , < http://www.imsc.res.in/~rao /ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper35/page1.htm > Arkistoitu 21. toukokuuta 2013 Wayback Machinessa