Pappus-Guldinin lauseet

Papp-Guldinin lauseet ovat kaksi kierroskappaleita koskevaa lausetta , jotka yhdistävät pinta - alan ja tilavuuden barycenterin kuvaamaan kehään . Aleksandrian Pappus muotoili (hän ei esittänyt todisteita). Ensimmäinen tunnettu todiste on Paul Guldin ( 1640 ) [1] .

Ensimmäinen Pappus-Guldin-lause (kierrospinnan alueella)

Litteän (suljetun tai avoimen) linjan kiertymisestä muodostuvan kappaleen pinta-ala akselin ympäri, joka on tämän viivan tasossa ja ei leikkaa sitä, on yhtä suuri kuin pyörivän linjan pituuden tulo ja ympyrän pituus, jonka säde on etäisyys akselista suoran barycenteriin [2] [3] .

Pappus-Guldinin toinen lause (vallankumouskappaleen tilavuudesta)

Litteän hahmon kiertymisestä samassa tasossa olevan akselin ympäri, joka ei leikkaa kuviota, muodostuneen kappaleen tilavuus on yhtä suuri kuin kuvion pinta-ala kerrottuna ympyrän pituudella, jonka säde on etäisyys pyörimisakselista kuvan barycenteriin [ 2] [4] .

Todiste

Lemma

Olkoon useita samanmassaisia materiaalipisteitä tasaisen suoran toisella puolella. Sitten tämän pistejärjestelmän painopiste poistetaan viivasta etäisyyden verran, joka on yhtä suuri kuin näiden pisteiden etäisyyksien aritmeettinen keskiarvo suorasta . $l$ $l$

Todistus : Todistetaan lemma matemaattisella induktiolla. Merkitään pisteiden lukumäärä merkillä , itse pisteitä , , …, , kunkin pisteen massa merkillä ja pisteiden etäisyydet suorasta , , …, . $n$ $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $m$ $l$ $r_{1}$ $r_{2}$ $r_{n}$

Sillä , lemman väite on ilmeinen. Olkoon lemma totta jonkin pisteen osalta. Silloin niiden painopiste on kaukana $n = 1$ $n-1$ $P$

r={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n-1}}{n-1}}

Korvataan materiaalipistejärjestelmä , , … pisteellä , keskittämällä siihen massa, joka on yhtä suuri kuin . Jäljelle jää löytää kahden materiaalipisteen painopiste ja . Koska pisteellä on massa ja pisteellä on massa , niin $M_{1}$ $M_{2}$ ${\displaystyle M_{n-1))$ $P$ ${\näyttötyyli (n-1)m}$ $O$ $P$ $M_{n}$ $P$ ${\näyttötyyli (n-1)m}$ $M_{n}$ $m$

PO:OM_{n}=1:(n-1)

Siksi jos on etäisyys pisteestä suoraan (kuva 1), niin $r^{*}$ $O$

{\näyttötyyli (rr^{*}):(r^{*}-r_{n})=1:(n-1)}

missä

r^{*}={\frac {(n-1)r+r_{n}}{n}}={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{ n-1}+r_{n}}{n}}

Siten lemman väite pätee aineellisille pisteille. $n$

Todiste ensimmäisestä Papp-Guldin-lauseesta

Ensinnäkin osoitetaan, että tämä lause on totta, jos lauseessa tarkoitettu käyrä on linkitetty polyline , jossa kaikki linkit ovat samanpituisia . Merkitään polylinjan linkkien keskipisteet , , …, , ja etäisyydet näistä pisteistä suoraan , , …, . Kun tarkasteltavaa polylinjaa pyöritetään suoran ympäri , saadaan pinta, joka koostuu osista, joista jokainen on katkaistun kartion sivupinta. Koska katkaistun kartion sivupinta on yhtä suuri kuin generatrixin pituuden ja keskimääräisen poikkileikkauksen kehän pituuden tulo, tuloksena olevan kierrosluvun pinta-ala on yhtä suuri kuin $n$ $m$ $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $l$ $r_{1}$ $r_{2}$ $r_{n}$ $l$ $n$

{\displaystyle S=m\cdot 2\pi r_{1}+m\cdot 2\pi r_{2}+\ldots +m\cdot 2\pi r_{n))

Huomattaessa, että tarkasteltavan moniviivan pituus on , voimme kirjoittaa alueen lausekkeen uudelleen $P=mn$

S=P\cdot 2\pi R

missä

R={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n}}{n}}

mutta katkoviivan painopiste eli pisteiden , , …, painopiste, joihin jokaiseen massa on keskittynyt , on lemman mukaan erotettu suorasta etäisyydellä . Tämä tarkoittaa, että tarkasteltavana olevassa tapauksessa ensimmäinen Papp-Guldin-lause pätee. $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $m$ $l$ $R$

Tarkastellaan nyt mielivaltaista linjaa , jonka kierto akselin ympäri kierrettynä tuottaa pinnan . Kirjoitamme siihen katkoviivan, joka sisältää linkkejä. Kierrettäessä akselin ympäri saadaan pinta , jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin polylinen pituus , ja on etäisyys polylinjan painopisteestä pyörimisakseliin . $K$ $l$ $K$ $L$ $m$ $L$ $l$ $T$ $S=P\cdot 2\pi R$ $P$ $L$ $R$ $L$ $l$

Jos lasketaan , niin moniviivan pituus pyrkii viivan pituuteen , pinta -ala pinta-alaan , polylinjan painopiste taipua käyrän painopisteeseen . Koska mille tahansa relaatiolle pätee , niin siirtymällä rajaan , huomaamme, että se pätee myös käyrälle . $m\to 0$ $L$ $K$ $T$ $K$ $L$ $K$ $m$ $S=P\cdot 2\pi R$ $L$ $m\to 0$ $K$

Muistiinpanot

↑ Glaser, 1983 , s. 176.
↑ 1 2 Glaser, 1983 , s. 177.
↑ Fikhtengolts, osa II, 1969 , s. 229.
↑ Fikhtengolts, osa II, 1969 , s. 232.

Kirjallisuus

Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa. IX-X luokat. - M . : Koulutus, 1983. - 351 s.
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. T. II. 7. painos - M .: Nauka, 1969. - 800 s.