Pisteryhmä 3D-avaruudessa

Polytooppiryhmät , [n,3], (*n32)
Involuutiosymmetriat C s , (*) [ ] =	Syklinen symmetria C nv , (*nn) [n] =	Dihedraalinen symmetria D nh , (*n22) [n,2] =
Tetraedinen symmetria Td , (*332) [3,3] =	Oktaedrisymmetria O h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrisymmetria I h , (*532) [5,3] =

Pisteryhmä kolmiulotteisessa avaruudessa on ryhmä isometrioita kolmiulotteisessa avaruudessa, joka ei siirrä origoa, tai pallon isometrioiden ryhmä . Ryhmä on ortogonaalisen ryhmän O(3) alaryhmä , kaikkien isometrioiden ryhmä, jotka jättävät origon kiinteäksi, tai vastaavasti ortogonaalisten matriisien ryhmä . O(3) on itse euklidisen ryhmän E (3)kolmiulotteisen avaruuden liikkeistä .

Objektien symmetriaryhmät ovat isometriaryhmiä. Näin ollen isometriaryhmien analyysi on mahdollisten symmetrioiden analyysiä . Kaikilla rajoitetun 3D-objektin isometrioilla on yksi tai useampi kiinteä piste (jotka eivät muuta sijaintia symmetrian vuoksi). Valitsemme alkuperän yhdeksi näistä kohdista.

Objektin symmetriaryhmää kutsutaan joskus täydeksi symmetriaryhmäksi, toisin kuin sen rotaatioryhmä tai oma symmetriaryhmä , kolmiulotteisen avaruuden täyden symmetriaryhmän ja SO(3) -kiertoryhmän leikkauspiste. Objektin rotaatioryhmä on sama kuin sen täysi symmetriaryhmä silloin ja vain, jos kohde on kiraalinen .

Pisteryhmiä kolmiulotteisessa avaruudessa käytetään laajasti kemiassa, erityisesti kuvattaessa molekyylin ja kovalenttisia sidoksia muodostavien molekyyliorbitaalien symmetriaa , ja tässä yhteydessä näitä ryhmiä kutsutaan molekyylipisteryhmiksi .

Äärilliset Coxeter-ryhmät ovat erityinen joukko pisteryhmiä, jotka muodostuvat joukosta peilitasoja, jotka leikkaavat yhdessä pisteessä. Coxeter-ryhmässä, jonka arvo on n , on n peiliä ja se esitetään Coxeter-Dynkin-kaaviolla . Coxeterin merkintä tarjoaa Coxeterin kaaviota vastaavan hakasulkumerkinnän, jossa on rotaatio- ja muiden pistesymmetrian alaryhmien merkintäsymbolit.

Ryhmärakenne

SO(3) on E + (3) aliryhmä , joka koostuu suorista isometrioista ts. suuntaa säilyttävät isometrit . Se sisältää tämän ryhmän isometrioita jättäen origon liikkumatta.

O(3) on SO(3):n ja keskussymmetrian muodostaman ryhmän suora tulo :

O(3) = SO(3) × { I , − I }

Siten on 1-1-vastaavuus kaikkien suorien isometrien ja epäsuorien isometrien välillä, jotka on saatu keskussymmetrialla. Kaikkien O(3):n H :n suorien isometriaryhmien ja O(3):n kaikkien K :n isometriaryhmien välillä on myös 1-1-vastaavuus, jotka sisältävät keskusinversion:

K = H × { I , − I } H = K ∩ SO(3)

Esimerkiksi, jos H on C2 - ryhmä , niin K on yhtä suuri kuin C2h . Jos H on C3 - ryhmä , niin K on yhtä suuri kuin S6 . (Katso alta näiden ryhmien määritelmä.)

Jos suoralla isometriaryhmällä H on alaryhmä L , jonka indeksi on 2, niin keskussymmetrian sisältävän ryhmän lisäksi on myös vastaava ryhmä, joka sisältää epäsuoria isometrioita, mutta ei sisällä keskussymmetriaa:

M = L ∪ ( ( H \ L ) × { − I } ),

jossa isometria ( A , I ) tunnistetaan A :lla. Esimerkki olisi C4 H : lle ja S4 M : lle .

Siten M saadaan H :sta H \ L :n isometrioiden keskussymmetrian avulla . Tämä ryhmä M on abstrakti ryhmä, joka on isomorfinen H :n kanssa . Päinvastoin, kaikille isometriaryhmille, jotka sisältävät epäsuoraa isometriaa, mutta ei keskussymmetriaa, voimme saada kiertoryhmän soveltamalla keskussymmetriaa epäsuoriin isometrioihin.

Kahdessa ulottuvuudessa syklinen kiertojen ryhmä luokkaa k C k (kierrokset kulman läpi 180°/ k ) mille tahansa positiiviselle kokonaisluvulle k on O(2, R ) ja SO(2, R ) aliryhmä. Vastaavasti kolmiulotteisessa avaruudessa millä tahansa akselilla syklinen k -kertainen akselin ympäri kiertävien kierrosten ryhmä on kaikkien akselin ympäri kiertävien pyörien normaali aliryhmä. Koska mikä tahansa alaryhmä, jolla on indeksi kaksi, on normaali, kiertoryhmä ( C n ) on normaali sekä ryhmässä, joka saadaan lisäämällä peilisymmetriat tasoista, jotka sisältävät akselit ( C nv ), että ryhmässä, joka saadaan lisäämällä peilisymmetriat tasoihin nähden, jotka ovat kohtisuorassa akselia vastaan. akselit ( C nh ).

Kolmiulotteiset isometrit, jotka jättävät alkuperän kiinteäksi

Avaruuden R 3 isometriat, jotka jättävät origon kiinteäksi ja muodostavat ryhmän O( 3 , R ), voidaan jakaa ryhmiin seuraavasti:

SO( 3 , R ):
- identtinen liike
- kierto akselin ympäri, joka kulkee origon läpi muun kuin 180° kulman kautta
- kierto akselin ympäri, joka kulkee origon läpi kulmassa, joka on yhtä suuri kuin 180°
sama keskussymmetrian kanssa ( x tarkoittaa -x ), ts. vastaavasti:
- keskussymmetria
- kierto akselin ympäri, joka kulkee origon läpi kulmassa, joka ei ole yhtä suuri kuin 180°, jota seuraa heijastus tason ympäri, joka on kohtisuorassa akseliin nähden ja kulkee origon kautta
- heijastus origon läpi kulkevasta tasosta

Etenkin 4. ja 5. isometriaa ja laajemmin myös 6:tta kutsutaan virheellisiksi rotaatioiksi .

Konjugaatio

Jos kahden kohteen symmetriaa verrataan, niin kunkin kohteen koordinaattien origo valitaan erikseen, ts. niillä ei välttämättä ole sama keskusta. Lisäksi kohteilla katsotaan olevan samantyyppinen symmetria, jos niiden symmetriaryhmät ovat ryhmän O(3) konjugoituja ryhmiä (G:n kaksi alaryhmää H 1 ja H 2 ovat konjugoituja, jos on olemassa g ∈ G siten, että H 1 = g −1 H 2 g ).

Esimerkiksi kahdella 3D-objektilla on samantyyppinen symmetria, jos

molemmilla on peilisymmetria, mutta eri tasojen suhteen
molemmilla on rotaatiosymmetria luokkaa 3, mutta eri akseleilla.

Useiden symmetriatasojen ja/tai kiertoakselien tapauksessa kaksi symmetriaryhmää ovat samaa tyyppiä, jos ja vain jos on rotaatio, joka kartoittaa ensimmäisen symmetriaryhmän koko rakenteen toiseen. (Itse asiassa voi olla useampi kuin yksi kierto, mutta ei ääretöntä määrää). Konjugaation määritelmä mahdollistaa myös rakenteen peilaamisen, mutta tämä ei ole välttämätöntä, koska rakenne itsessään on kiraalinen. Esimerkiksi jos symmetriaryhmä sisältää akselin, jonka luokka on 3, se sisältää kiertoja kahdessa vastakkaisessa suunnassa (rakenne on kiraalinen 11 parille kierteisen akselin omaavia kristallografisia ryhmiä ).

Äärettömät isometriaryhmät

On olemassa monia äärettömiä isometriaryhmiä, esimerkiksi " syklinen ryhmä " (oletetaan olevan ryhmä, jonka muodostaa yksittäinen elementti - ei pidä sekoittaa vääntöryhmään ), joka muodostuu irrationaalisesta kiertoliikkeestä akselin ympäri. Voimme luoda ei-syklisiä Abelin ryhmiä lisäämällä lisäkäänteitä saman akselin ympärille. On myös ei-abelilaisia ryhmiä, jotka muodostuvat pyörittämällä eri akseleita. Ne ovat yleensä (yleensä) ilmaisia ryhmiä . Ne ovat äärettömiä, jos et halua pyörittää tietyllä tavalla.

Kaikki tähän asti mainitut äärettömät ryhmät eivät ole suljettuja ryhmän O(3) topologisina alaryhminä .

Täysi ryhmä O(3) on pallosymmetriaryhmä . SO(3) on vastaava kiertoryhmä. Muut äärettömät isometriaryhmät koostuvat kaikista kierroksista origon kautta kulkevan akselin ympäri ja samasta kierrosta lisäpeilisymmetrialla tämän akselin läpi kulkevien tasojen ympäri ja/tai peilisymmetrialla origon kautta kulkevan tason ympäri, joka on kohtisuorassa akseliin nähden. Nämä ryhmät, joissa peilit kulkevat akselin läpi, tai ilman, että peili kulkee origon läpi ja ovat kohtisuorassa akseliin nähden, ovat symmetriaryhmiä kahdelle lieriömäiselle symmetriatyypille . Huomaa, että kaikilla fysikaalisilla objekteilla, joilla on ääretön kiertosymmetria, on myös peilisymmetria suhteessa akselin läpi kulkeviin tasoihin.

Äärilliset isometriaryhmät

3-ulotteisen avaruuden symmetriat, jotka jättävät origon paikoilleen, määrittävät täysin origoon keskittyneen pallon symmetriat. Katso äärellisistä kolmiulotteisista pisteryhmistä myös Pallosymmetriaryhmät .

Konjugaatioon asti äärellisten kolmiulotteisten pisteryhmien joukko koostuu:

7 ääretöntä sarjaa, joissa korkeintaan yksi akseli on suurempi kuin 2. Nämä ovat äärellisiä symmetriaryhmiä äärellisissä sylintereissä tai vastaavasti äärellisissä sylintereissä. Näitä ryhmiä kutsutaan joskus prismapisteryhmiksi.
7 pisteryhmää, joissa on useita akseleita, luokkaa 3 tai enemmän. Nämä ovat äärellisiä pisteryhmiä, joissa on useita akseleita luokkaa 3, koska kaikki 7 sisältävät tällaisia akseleita. Mahdolliset akseliyhdistelmät:
- 4-akselinen järjestys 3
- 4 akselia tilauksesta 3 ja 3 tilauksesta 4
- 10 akselia tilauksesta 3 ja 6 tilauksesta 5

Pisteryhmien joukko on samanlainen kuin diskreetti siirtoryhmä - 27 7:stä äärettömästä sarjasta ja 5 7:stä jäljellä olevasta, yhteensä 32 ns. kiteistä pisteryhmää. Katso myös Crystallographic Constraint Theorem .

Seitsemän ääretöntä sarjaa akselisymmetrisiä ryhmiä

Prismaattisten ryhmien äärettömällä sarjalla on indeksi n , joka voi olla mikä tahansa luonnollinen luku. Jokaisessa sarjassa n: s symmetriaryhmä sisältää kertaluvun n kierroksen akselin ympäri, ts. kierto 360°/ n . Tapaus n =1 vastaa liikkeen puuttumista. Sarjoja on neljä ilman lisäkiertosymmetriaakseleita (katso sykliset symmetriat ) ja kolme sarjaa, joissa on lisäsymmetriaakseleita luokkaa 2 (katso dihedralsymmetria ). Ne voidaan ymmärtää -tason pisteryhminä , joita laajennetaan koordinaattiakseleilla ja niissä olevilla heijastuksilla. Ne liittyvät reunaryhmiin [1] ja niitä voidaan pitää rajaryhminä, jotka toistuvat n kertaa sylinterin ympäri.

Seuraavassa taulukossa on joitakin pisteryhmien merkintöjä: Hermann-Mogen-symboliikka (käytetään kristallografiassa ), Schoenflies-symbolit (käytetään kuvaamaan molekyylisymmetriaa ), orbifold-merkintä ja Coxeter-merkintä . Kolme viimeistä eivät ole vain käteviä pisteryhmien ominaisuuksien ymmärtämiseen, vaan myös määrittävät ryhmän järjestyksen. Nämä ovat yhtenäisiä merkintöjä, jotka koskevat taustakuvaryhmiä ja reunaryhmiä . Kristallografisille ryhmille n on rajoitettu arvoihin 1, 2, 3, 4 ja 6. Jos poistamme kristallografiset rajoitukset, saamme ryhmiä mille tahansa luonnolliselle luvulle.

Sarja:

Herman - Mogena		Schoenflies	Orbifold [	Coxetera		Raja	Rakenne ( Tilaa )	Esimerkki	Kommentit
Jopa n	outo n	Schoenflies	Orbifold [	Coxetera		(sylinteri)	Rakenne ( Tilaa )	Esimerkki	Kommentit
n		C n	nn	[n] +		p1	n	Z n ( n )		n kertaluvun pyörimissymmetria
2n _	n	S2n _ _	n ×	[2n + ,2 + ]		p11g	Z 2 n ( 2 n )		Peilin pyörimissymmetria kertalukua n . Ei pidä sekoittaa symmetrisiin ryhmiin
n /m	2n _	C n h	n *	[n + ,2]		p11m	Z n × Dih 1 (2 n )
n mm	nm_ _	C n v	* nn	[n]		p1m1	Dihn ( 2n ) _		Pyramidaalinen symmetria; biologiassa - biradiaalinen symmetria
n 22	n 2	D n	22n _	[n,2] +		p211	2n _	Dih n	Dihedraalinen symmetria
2n2m _ _	nm_ _	D n d , D n v	[2n,2 + ]		p2mg	4n _	Dih 2n ( 2n ) _		Antiprismaattinen symmetria
n /mmm	2n2m _ _	D n h	* 22n	[n,2]		p2mm	Dih n × Dih 1 (4 n )		Prismaattinen symmetria

Parittomalla n :llä meillä on Z 2 n = Z n × Z 2 ja Dih 2 n = Dih n × Z 2 .

Käsitteet vaaka (h) ja pystysuora (v) sekä vastaavat (alemmat) indeksit viittaavat lisäpeilitasoihin, jotka voivat olla yhdensuuntaisia kiertoakselin kanssa (pysty) tai kohtisuorassa kiertoakseliin nähden (vaaka). .

Yksinkertaisimmilla ei-triviaalisilla ryhmillä on involuutiosymmetria (abstrakti ryhmä Z 2 ):

C i - keskussymmetria
C 2 - kertaluvun 2 pyörimissymmetria
C s - peilisymmetria , jota kutsutaan myös bilateraaliseksi symmetriaksi .

Toinen näistä ryhmistä on ensimmäinen ryhmistä, joilla on yksi akseli ( sykliset ryhmät ) C n luokkaa n (soveltuu myös kaksiulotteisessa avaruudessa), jotka muodostetaan yhdellä kierrolla 360°/ n kulman läpi . Lisäksi voidaan lisätä akseliin nähden kohtisuorassa oleva peilitaso, joka antaa 2 n kertaluvun ryhmän C nh tai akselin sisältävän n peilin joukon , josta saadaan ryhmä C nv , joka on myös luokkaa 2 n . Jälkimmäinen on säännöllisen pyramidin symmetriaryhmä, jossa on n sivua. Tyypillinen esine, jonka symmetriaryhmä on Cn tai Dn , on potkuri .

Jos sekä pystyheijastustasot että vaakatasot lasketaan yhteen, niiden leikkauspisteet antavat n 180° kiertoakselia, joten ryhmä ei ole enää yksiakselinen. Tätä uutta 4 n kertaluvun ryhmää kutsutaan D nh . Sen rotaatioalaryhmät ovat 2 n kertalukua oleva dihedraaliryhmä D n , jolla on kuitenkin kertaluvun 2 pyörimisakselit kohtisuorassa pääkiertoakseliin nähden, mutta ei peiliheijastustasoja. Huomaa, että 2D:ssä D n sisältää heijastuksia, jotka voidaan nähdä kääntämisenä litteiden kohteiden yli erottamatta toisistaan etu- ja takaosaa, mutta 3D:ssä nämä kaksi toimintoa ovat erilaisia - ryhmä sisältää "kääntymisen", mutta ei heijastuksia.

Tässä perheessä on toinen ryhmä nimeltä D nd (tai D nv ), jossa on pystysuorat peilitasot, jotka sisältävät pääkiertoakselin, mutta vaakasuuntaisen peilin sijaan siinä on isometria, joka yhdistää heijastuksen vaakatason ympäri ja pyörimisen läpi. kulma 180°/ n . D nh on säännöllisen (n+2) -sivuisen prisman ja säännöllisen (2n) -sivuisen bipyramidin symmetriaryhmä . D nd on symmetriaryhmä säännölliselle (n+2) -puoliselle antiprisalle ja myös säännölliselle (2n) -puoliselle puolisuunnikkaan . D n on osittain kierretyn prisman symmetriaryhmä.

Ryhmät D 2 ja D 2 h ovat merkittäviä siinä mielessä, että niissä ei ole erityisiä pyörimisakseleita. On olemassa kolme kohtisuoraa akselia, joiden kertaluku on 2 [2] . D2 on monitahoisten symmetrioiden alaryhmä (katso alla) ja D2h on monitahoisten symmetrioiden alaryhmä Th ja Oh . D2 : ta löytyy homotetrameereistä , kuten konkanavaliini A :sta, tetraedrisistä komplekseista neljän identtisen kiraalisen ligandin kanssa tai molekyyleistä, kuten tetrakis(kloorifluorimetyyli) metaanista , jos kaikilla kloorifluorimetyyliryhmillä on sama kiraalisuus. D 2 : n elementit ovat 1-2-vastaavuudessa Lipschitzin kvaternionien reversiibelien elementtien antamien rotaatioiden kanssa .

Ryhmä S n syntyy vaakatasossa tapahtuvan heijastuksen ja 360°/ n kulman läpi tapahtuvan kiertymisen yhdistelmällä . Parittomalla n :llä ryhmä osuu yhteen kahden erillisen Cnh : n , joiden kertaluku on 2 n , muodostaman ryhmän kanssa, joten merkintä S n ei ole tarpeen. Jopa n :lle ne ovat kuitenkin erillisiä ja niiden kertaluku on n . Kuten D nd , ryhmä sisältää useita virheellisiä kierroksia , mutta ei vastaavia kiertoja.

Kaikki 7 äärettömän sarjan symmetriaryhmät ovat erilaisia lukuun ottamatta seuraavia neljää yhtäläistä paria:

C 1h ja C 1v : luokan 2 ryhmä yhdellä heijastuksella ( C s )
D 1 ja C 2 : tilaus 2 ryhmä yhdellä 180° kierrolla
D 1 h ja C 2 v : luokkaa 4 oleva ryhmä, jossa on heijastus tason ympäri ja kierto 180° linjan ympäri tällä tasolla
D 1 d ja C 2 h : järjestys 4 ryhmä, jossa heijastus tason ympäri ja kierto 180° linjan ympäri, joka on kohtisuora tähän tasoon nähden

S 2 on luokkaa 2 oleva ryhmä, jolla on ainutlaatuinen symmetria pisteen ( Ci ) suhteen .

Tässä "Equal" tarkoittaa samaa konjugaatioon asti avaruudessa. Tämä on tiukempaa kuin "algebralliseen isomorfiaan asti". Esimerkiksi ensimmäisessä merkityksessä on kolme erillistä ryhmää, jotka ovat luokkaa kaksi, mutta vain yksi toisessa. Vastaavasti esimerkiksi ryhmä S2n on algebrallisesti isomorfinen Z2n :n kanssa .

Ryhmät voidaan rakentaa näin:

C n . Muodostaa elementti, jota kutsutaan myös nimellä C n , joka vastaa kiertoa 2π/ n kulman läpi akselin ympäri. Ryhmän alkiot ovat E (identiteettielementti), C n , C n 2 , ..., C n n −1 , jotka vastaavat pyörimistä kulmien läpi 0, 2π/ n , 4π/ n , ..., 2( n − 1) π/ n .
S2n . _ _ Ryhmän muodostaa elementti C 2 n σ h , jossa σ h on heijastus (peilissä, joka on kohtisuorassa akseliin nähden). Sen alkiot ovat alkioita C n , joihin on lisätty alkiot C 2n σ h , C 2 n 3 σ h , ..., C 2 n 2 n −1 σ h .
C n h . Ryhmän muodostavat elementti C n ja heijastus σ h . Sen alkiot ovat ryhmän C n alkioita, joihin on lisätty alkiot σ h , C n σ h , C n 2 σ h , ..., C n n −1 σ h .
C nv . _ Ryhmän muodostavat elementti C n ja heijastus σ v akselin läpi kulkevassa peilissä. Sen alkiot ovat ryhmän C n alkioita, joihin on lisätty alkiot σ v , C n σ v , C n 2 σ v , ..., C n n −1 σ v .
D n . Ryhmän muodostaa elementti C n ja 180° kierto U = σ h σ v akselia vastaan kohtisuorassa tasossa olevan suoran ympäri. Sen alkiot ovat ryhmän C n elementtejä, joihin on lisätty alkiot U, C n U, C n 2 U, ..., C n n − 1 U.
D n d . Ryhmä muodostetaan elementeillä C 2 n σ h ja σ v . Sen alkiot ovat ryhmän C n alkioita ja ryhmien S 2 n ja C n v alkioita yhdessä elementtien C 2 n σ h σ v , C 2 n 3 σ h σ v , ..., C 2 n kanssa. 2 n − 1 σ h σ v .
D n h . Ryhmä muodostetaan elementeillä C n , σ h ja σ v . Sen elementit ovat ryhmän C n elementtejä lisättynä ryhmien C n h , C n v ja D n alkioihin .

Kun n on yhtä suuri kuin ∞, saadaan ryhmä jatkuvilla aksiaalisilla pyörimisillä:

G-M	Schoenflies	Orbifold	Coxeter	Raja	abstrakti ryhmä
∞	C∞ _	∞∞	[∞] +	C n	Z∞ _	SO(2)
∞ , ∞/m	C∞h _	∞*	[2,∞ + ]	Cnh , S2n _ _ _	Dih 1 × Z∞	Z2 × SO(2 )
∞m	C∞v _	*∞∞	[∞]	C n v	Dih∞ _	O(2)
∞2	D∞ _	22∞	[2,∞] +	D n	Dih∞ _	O(2)
∞m, ∞ /mm	D∞h _	*22∞	[2,∞]	D n h , D n d	Dih 1 × Z∞	Z2 × O(2 )

Seitsemän jäljellä olevaa pisteryhmää

Muilla pisteryhmillä on erittäin korkea tai monitahoinen symmetria, koska niillä on useampi kuin yksi kiertoakseli, jonka kertaluku on suurempi kuin 2. Tässä C n tarkoittaa 360°/n pyörimisakselia ja S n tarkoittaa väärää pyörimisakselia samalla kulmalla. Merkintäsarakkeessa on orbifold-merkintä (suluissa), Coxeterin merkintä ( Coxeter-kaavio ), koko Hermann-Maugin-symboliikka ja lyhenne, jos se on erilainen. Luettelo ryhmistä:

T , (332) [3,3] + () 23 tilaus 12	kiraalinen tetraedrisymmetria	Siellä on neljä C 3 -akselia, joista kukin kulkee kuution kahden kärjen (suurempaa lävistäjää pitkin) tai säännöllisen tetraedrin korkeuksien läpi ja kolme C 2 -akselia kuution pintojen keskipisteiden tai kuution (vastakkaisten) sivujen keskipisteiden läpi. tetraedri. Tämä ryhmä on isomorfinen A4 :n kanssa , joka on 4 elementin vuorotteleva ryhmä, ja se on säännöllisen tetraedrin rotaatioryhmä. Ryhmä on normaali alaryhmä ryhmistä T d , T h ja oktaederiset symmetriat. Ryhmän elementit vastaavat 1-2 kiertoja, jotka saadaan 24 Hurwitzin kvaternioniyksiköllä (" Binary Tetrahedron Group ").
T d , (*332) [3,3] () 4 3m tilaus 24	täydellinen tetraedrinen symmetria	Tällä ryhmällä on samat kiertoakselit kuin T:llä, mutta kuusi peilitasoa, joista jokaisessa on kaksi kuution reunaa tai yksi tetraedrireuna, yksi C2- akseli ja kaksi C3 - akselia . Akseleista C 2 tulee akseleita S 4 . Tämä ryhmä on säännöllisen tetraedrin symmetriaryhmä . T d on isomorfinen S 4 :n , 4 kirjaimen symmetrisen ryhmän kanssa , koska T d :n elementtien ja neljän akselin3kertaluvun 24 permutaatioiden välillä on 1-1-vastaavuus, neljä tällaista objektia, ja T d vastaa näiden neljän elementin permutaatioiden joukko. T d on O h :n normaali alaryhmä . Katso myös säännöllisen tetraedrin isometria .
T h , (3*2) [3 + ,4] () 2/m 3 , m 3 järjestys 24	pyriteedrinen symmetria	Tällä ryhmällä on samat pyörimisakselit kuin T :llä ja peilitasot ovat yhdensuuntaiset kuution pintojen kanssa. C 3 -akseleista tulee S 6 -akseleita , ja niissä on keskeinen symmetria. Ryhmä T h on isomorfinen ryhmälle A 4 × Z 2 (koska T ja C i ovat normaaleja alaryhmiä), mutta ei symmetriselle ryhmälle S 4 . Tämä on kuution symmetriaryhmä, jonka jokaiselle pinnalle piirretään segmentti, joka jakaa kuution kahteen yhtä suureen suorakulmioon, ja vierekkäisten pintojen segmenteillä ei ole yhteisiä pisteitä (ne yhdistävät eri reunat). Symmetriat vastaavat suurten diagonaalien tasaisia permutaatioita yhdistettynä keskussymmetriaan. Ryhmä on myös pyriteedrin symmetria , joka on samanlainen kuin yllä kuvattu kuutio, jossa jokainen suorakulmio on korvattu viisikulmiolla, jolla on yksi symmetria-akseli ja jossa on 4 yhtä suurta sivua ja yksi eripituinen sivu (joka vastaa viivaa segmentti, joka jakaa kuution pinnan.). Eli kuution pinnat ulkonevat jakoviivaa pitkin ja kapenevat täällä. Ryhmä on alaryhmä (mutta ei normaali alaryhmä) täydellisen ikosaedrisen symmetrian ryhmästä (isometrisenä ryhmänä, mutta ei vain abstraktina ryhmänä), jossa on 4 10:stä luokkaa 3 olevasta akselista. Ryhmä on normaali alaryhmä O h -ryhmästä .
O , (432) [4,3] + () 432 tilaus 24	kiraalinen oktaedrisymmetria	Tämä ryhmä on samanlainen kuin T-ryhmä, mutta C 2 -akseleista tulee C 4 -akseleita ja kuution reunojen keskipisteiden kautta kulkee 6 ylimääräistä C 2 -akselia. Tämä ryhmä on isomorfinen S 4 :n kanssa, koska sen elementit 1-1 vastaavat 24 permutaatiota 3:n akselin permutaatiosta, kuten T:ssä. Symmetriaobjekti D 3 yhden luokan 3 akselin suhteen saadaan O:n vaikutuksesta. kiertorata , joka koostuu neljästä tällaisesta kohteesta, ja O vastaa näiden neljän elementin permutaatioiden joukkoa. Ryhmä on kuution ja oktaedrin kiertoryhmä . Jos rotaatioita edustavat kvaternionit , O koostuu 24 yksiköstä Hurwitzin kvaternioneista ja 24 normoidusta Lipschitzin kvaternionista , jotka on normalisoitu jakamalla . Kuten ennenkin, tämä on 1-2-ottelu. ${\sqrt {2}}$
Voi , (*432) [ 4,3] () 4/m 3 2/m, m 3 m luokka 48	täysi oktaedrisymmetria	Tällä ryhmällä on samat kiertoakselit kuin O , mutta peilitasoilla, jotka sisältävät symmetriatasot T d ja T h . Ryhmä on isomorfinen S 4 × Z 2 :lle (koska sekä O että C i ovat normaaleja alaryhmiä), ja se on kuution ja oktaedrin symmetriaryhmä . Katso myös kuutioisometriikka
I , (532) [5,3] + () 532 tilaus 60	kiraalinen ikosaedrinen symmetria	Ikosaedrin ja dodekaedrin rotaatioryhmä . Ryhmä on normaali alaryhmä , jonka indeksillä 2 on täydellinen symmetriaryhmä I h . Ryhmä sisältää 10 versiota ryhmästä D 3 ja 6 versiota ryhmästä D 5 (kiertosymmetriat, kuten prismat ja antiprismat). Ryhmä sisältää myös viisi versiota T h :sta (katso Viiden tetraedrin yhdiste ). Ryhmä I on isomorfinen A5 : n , vuorottelevan 5 -kirjaimen ryhmän, kanssa, koska sen elementit vastaavat viiden Th-symmetrian (tai edellä mainitun viiden tetraedrin) 1-1 parillisia permutaatioita .
I h , (*532) [5,3] () 5 3 2/m, 5 3 m tilaus 120	täydellinen ikosaedrinen symmetria	Ikosaedrin ja dodekaedrin symmetriaryhmä. Ryhmä I h on isomorfinen A 5 × Z 2 :lle, koska I ja C i ovat normaaleja alaryhmiä. Ryhmä sisältää 10 D 3d -versiota, 6 D 5d -versiota (symmetriaa kuten antiprismat) ja 5 T h -versiota .

Tähän ryhmään liittyvät jatkuvat ryhmät ovat:

K tai SO(3), kaikki mahdolliset kierrokset.
K h tai O(3), kaikki mahdolliset kierrokset ja heijastukset.

Kuten yllä jatkuvan pyörimisen ryhmille todettiin, kaikilla fyysisillä objekteilla, joilla on K-symmetria, on myös Kh -symmetria .

Orbifold-merkinnän ja järjestyksen välinen suhde

Minkä tahansa ryhmän järjestys on 2 jaettuna orbifold Euler - ominaisuudella . Jälkimmäinen on yhtä suuri kuin 2 miinus arvojen summa, jotka lasketaan seuraavien sääntöjen mukaisesti:

n ilman tai ennen * lasketaan ( n − 1)/ n
n *:n jälkeen laskee ( n −1)/(2 n )
* ja × lasketaan yhdeksi

Tätä voidaan soveltaa myös tapettiryhmiin ja reunaryhmiin - niille summa on 2, mikä antaa äärettömän järjestyksen. Katso orbifold Euler -ominaisuus .

Coxeter heijastusryhmät

Kolmiulotteisten Coxeter-ryhmien perusalue

A 3 , [3,3]	eKr. 3 , [4,3]	H 3 , [5,3]
6 peiliä	3+6 peiliä	15 peiliä
A 1 ×A 1 , [1,2]	A 1 × A 1 × A 1 , [2,2]	I 2 (3) × A 1 , [2,3]
2 peiliä	3 peiliä	4 peiliä
A 1 , [1]	A 1 ×A 1 , [2]	I 2 (3), [3]
1 peili	2 peiliä	3 peiliä

Kolmiulotteisen avaruuden heijastuspisteryhmät, joita kutsutaan myös Coxeter-ryhmiksi ja jotka voidaan määritellä Coxeter-Dynkin-kaavioilla , edustavat joukkoa peilejä, jotka leikkaavat yhdessä keskipisteessä ja rajoittavat alueen aluetta pallomaisen kolmion muodossa. pallon pintaa. Coxeter-ryhmillä, joissa on vähemmän kuin 3 generaattoria, on degeneroituneita pallomaisia kolmioalueita, kuten lune tai puolipallo . Coxeterin merkinnöissä tällaisia ryhmiä ovat tetraedrisymmetria [3,3], oktaedrisymmetria [4,3], ikosaedrisymmetria [5,3] ja dihedraalinen symmetria [p,2]. Pelkistymättömän ryhmän peilien lukumäärä on nh/2 , missä h on ryhmän Coxeterin luku , n on mitta (3) [3] .

Weilin ryhmä		Tilaus	Coxeterin numero (h)	Peilit (m)
Polytooppiryhmät
A 3	[3,3]	24	neljä	6
B3 _	[4,3]	48	6	3+6
H3_ _	[5,3]	120	kymmenen	viisitoista
Dihedral ryhmä
2A1 _ _	[1,2]	neljä		1+1
3 A 1	[2,2]	kahdeksan		2+1
I 2 (p) A 1	[p,2]	4p		p+1
Sykliset ryhmät
2A1 _ _	[2]	neljä		2
I 2 (p)	[p]	2p		s
yksi peili
A 1	[ ]	2		yksi

Kiertoryhmät

Rotaatioryhmät, ts. SO(3): n äärelliset alaryhmät ovat: sykliset ryhmät Cn (kanonisten pyramidien kiertoryhmät ) , dihedraaliset ryhmät Dn (homogeenisten prismien tai kanonisten bipyramidien pyörimisryhmät) ja säännöllisen tetraedrin , oktaedrin / kuution rotaatioryhmät T , O ja I ja ikosaedri / dodekaedri .

Erityisesti dihedraaliryhmät D3 , D4 jne . ovat kolmiulotteiseen avaruuteen upotettuja tasomaisten säännöllisten monikulmioiden kiertoryhmiä, ja tällaisia kuvioita voidaan pitää rappeutuneina säännöllisinä prismoina. Siksi niitä kutsutaan dihedraliksi (kreikaksi: ruumiiksi, jolla on kaksi kasvoa), mikä selittää nimen dihedral group .

Objektilla, jolla on symmetriaryhmä C n , C nh , C nv tai S 2n , on rotaatioryhmä C n .
Objektilla, jolla on symmetriaryhmä D n , D nh tai D nd , on rotaatioryhmä D n .
Objektilla, jossa on yksi seitsemästä muusta symmetriaryhmästä, on rotaatioryhmä, joka vastaa ryhmää ilman indeksiä - T , O tai I.

Objektin rotaatioryhmä on yhtä suuri kuin sen täysi symmetriaryhmä, jos ja vain jos kohde on kiraalinen .

Luettelo rotaatioalaryhmistä niiden Schoenflies- merkinnällä , Coxeter-merkinnällä , ( orbifold notation ):

Heijastus	Heijastus/kierto	Väärä kierto	Kierto
C nv , [n], (*nn)	C nh , [n + ,2], (n*)	S 2n , [2n + ,2 + ], (n×)	C n , [n] + , (nn)
D nh , [2,n], (*n22)	Dnd , [ 2 + ,2n], (2*n)		D n , [2,n] + , (n22)
T d , [3,3], (*332)			T , [3,3] + , (332)
Oi , [ 4,3 ], (*432)	T h , [3 + ,4], (3*2)		O , [4,3] + , (432)
I h , [5,3], (*532)			I , [5,3] + , (532)

Kiertoryhmien ja muiden ryhmien kirjeenvaihto

Seuraavat ryhmät sisältävät keskussymmetrian :

C nh ja D nh parilliselle n :lle
S 2 n ja D nd parittomalle n :lle ( S 2 = C i on keskussymmetrian muodostama ryhmä; D 1d = C 2h )
T h , o h ja minä h

Kuten edellä selitettiin, näiden ryhmien ja kaikkien rotaatioryhmien välillä on 1-1 vastaavuus:

C nh parilliselle n :lle ja S 2 n parittomille n :lle vastaa C n :ää
D nh parilliselle n :lle ja D nd parittomalle n :lle vastaavat arvoa D n
Th , Oh ja Ih vastaavat T , O ja I , vastaavasti . _

Muut ryhmät sisältävät epäsuoria isometrioita, mutta ei keskussymmetriaa:

C nv
C nh ja D nh parittomille n
S 2 n ja D nd parilliselle n :lle
T d

Ne kaikki vastaavat rotaatioryhmää H ja alaryhmää L indeksillä 2 siinä mielessä, että ne saadaan H :sta kääntämällä isometriat arvoon H \ L , kuten edellä on selitetty:

C n on D n :n alaryhmä, jonka indeksi on 2, mikä antaa C nv :n
C n on C 2n :n alaryhmä, jonka indeksi on 2, mikä antaa C nh :n parittomalle n :lle ja S 2 n :n parilliselle
D n on D 2n :n alaryhmä, jonka indeksi on 2, mikä antaa D nh :n parittomalle n :lle ja D nd :n parilliselle
T on O :n alaryhmä, jonka indeksi on 2, mikä antaa T d :n

Maksimisymmetriat

On olemassa kaksi diskreettiä pisteryhmää, joilla on ominaisuus, että millään diskreetillä pistealaryhmällä niitä ei ole oikeana alaryhmänä, O h ja I h . Niiden suurin yhteinen alaryhmä on T h . Siitä saadaan kaksi ryhmää korvaamalla kertaluvun 2 pyörimissymmetria 4:n kertaluvun symmetrialla ja lisäämällä vastaavasti luokkaa 5 oleva symmetria. Voit myös saada kaksi ryhmää lisäämällä peilitasoja T h -arvoon .

On olemassa kaksi kristallografista pisteryhmää, joilla on se ominaisuus, että mikään kristallografinen pisteryhmä ei sisällä niitä omana alaryhmänään - O h ja D 6h . Niiden suurimmat yhteiset alaryhmät ovat suuntauksesta riippuen D 3d ja D 2h .

Ryhmien järjestäminen abstraktin ryhmätyypin mukaan

Lisäksi edellä kuvatut ryhmät on järjestetty ryhmän abstraktin tyypin mukaan.

Pienimmät abstraktit ryhmät, jotka eivät ole symmetriaryhmiä kolmiulotteisessa avaruudessa, ovat kvaternioniryhmä (luokkaa 8), Z 3 × Z 3 (luokkaa 9), disyklinen ryhmä Dic 3 (luokkaa 12) ja 10. 14 ryhmää tilauksesta 16.

Seuraavan taulukon sarake "Asutuksen 2 elementtien lukumäärä" näyttää C 2 , C i , C s -tyyppisten isometria-alaryhmien kokonaismäärän . Tämä yhteinen numero on yksi niistä ominaisuuksista, jotka mahdollistavat abstraktien ryhmien erottamisen, kun taas niiden isometriatyyppi auttaa erottamaan saman abstraktin ryhmän isometriaryhmät.

Mahdollisten ryhmien isometrioiden joukossa kolmiulotteisessa avaruudessa on äärettömän monta abstraktia ryhmätyyppiä, joissa on 0, 1 ja 3 kertaluokkaa 2 olevaa alkiota, kaksi ryhmää, joissa on 2 n + 1 luokkaa 2 olevaa alkiota, ja kolme ryhmät, joissa on 2 n + 3 kertaluvun 2 elementtiä (mikä tahansa n ≥ 2 ). Ei ole positiivista parillista kertaluvun 2 alkioiden määrää.

Symmetriaryhmät kolmessa ulottuvuudessa, jotka ovat syklisiä abstrakteina ryhminä

Pyörimissymmetriaryhmä , jonka kertaluku on n , on C n . Sen abstrakti ryhmätyyppi on syklinen ryhmä Zn , jota myös merkitään Cn : llä . On kuitenkin olemassa kaksi muuta ääretöntä sarjaa symmetriaryhmiä, joissa on abstrakteja ryhmiä:

Jopa 2 n : lle on olemassa ryhmä S 2n (Schoenflies-merkinnällä), joka on muodostettu 180°/n kiertoliikkeellä akselin ympäri yhdistettynä heijastukseen akselia vastaan kohtisuorassa tasossa. S 2 : lle käytämme merkintää C i , tämä ryhmä generoidaan keskussymmetrian avulla.
Jokaiselle järjestykselle 2 n , jossa n on pariton, meillä on C nh . Ryhmällä on kertaluokkaa n oleva pyörimisakseli ja kohtisuora peilitaso. Ryhmä syntyy 360°/ n kiertoliikkeellä akselin ympäri yhdistettynä heijastukseen. C 1 h : lle käytämme merkintää C s , tämä ryhmä generoidaan heijastuksella tasossa.

Siten korostamalla lihavoidulla kirjaimella 10 kristallografista pisteryhmää, joihin sovelletaan kristallografisia rajoituksia , meillä on:

Tilaus	Isometriset ryhmät	abstrakti ryhmä	Tilauksen elementtien lukumäärä 2
yksi	C1_ _	Z1_ _	0
2	C2 , Ci , Cs _ _ _	Z2_ _	yksi
3	C3_ _	Z3_ _	0
neljä	C4 , S4 _ _	Z4_ _	yksi
5	C5 _	Z5_ _	0
6	C6 , S6 , C3h _ _ _	Z 6 \u003d Z 3 × Z 2	yksi
7	C7_ _	Z7_ _	0
kahdeksan	C8 , S8 _ _	Z8_ _	yksi
9	C9_ _	Z9_ _	0
kymmenen	C 10 , S 10 , C 5h	Z10 = Z5 × Z2 _	yksi

jne.

Symmetriaryhmät kolmiulotteisessa avaruudessa, dihedraali abstrakteina ryhminä

Kahdessa ulottuvuudessa kaksitahoinen ryhmä D n sisältää heijastuksia, jotka voidaan ajatella kääntävän esinettä erottamatta toisistaan etu- ja takaosaa.

Kolmiulotteisessa avaruudessa nämä kaksi operaatiota ovat kuitenkin erilaisia - symmetriaryhmä, jonka nimi on D n , sisältää n kertaluokkaa 2 olevaa akselia, jotka ovat kohtisuorassa kertaluvun n akseleihin nähden , ei heijastusta. D n on kiertoryhmä n - puoleisessa prismassa , jossa on säännöllinen kanta, n - puoleisessa bipyramidissa , jossa on säännöllinen kanta, sekä säännöllisen n - sivuisen antiprisman ja säännöllisen n - sivuisen puolisuunnikkaan muodon . Ryhmä on myös tällaisten kohteiden täysi symmetriaryhmä, jos niistä tehdään kiraalisia kasvoja merkitsemällä tai jollain muuttamalla kuviota.

Abstrakti ryhmä on dihedraaliryhmä Dih n , joka on myös merkitty symbolilla D n . On kuitenkin kolme muuta symmetriaryhmää, joilla on sama abstrakti ryhmä:

C nv kertalukua 2 n , säännöllisen n - sivuisen pyramidin symmetriaryhmä
D :n kertaluku 4 n , säännöllisen n - sivuisen antiprisman symmetriaryhmä
D nh järjestyksessä 4 n parittomalla n :llä . Arvolle n = 1 saadaan D 2 , joka on jo annettu yllä, joten n ≥ 3.

Huomaa seuraava ominaisuus:

Dih 4n+2 Dih 2n+1 × Z 2

\cong

Siten, kun lihavoidaan 12 kristallografista ryhmää ja kirjoitetaan D 1d vastaavaksi arvoa C 2h , saadaan:

Tilaus	Isometriset ryhmät	abstrakti ryhmä	Tilauksen elementtien lukumäärä 2
neljä	D2 , C2v , C2h _ _ _	Dih 2 = Z 2 × Z 2	3
6	D3 , C3v _ _	Dih 3	3
kahdeksan	D4 , C4v , D2d _ _ _	Dih 4	5
kymmenen	D 5 , C 5 v	Dih 5	5
12	D 6 , C 6v , D 3d , D 3h	Dih 6 = Dih 3 × Z 2	7
neljätoista	D 7 , C 7 v	Dih 7	7
16	D 8 , C 8 v , D 4 d	Dih 8	9
kahdeksantoista	D 9 , C 9 v	Dih 9	9
kaksikymmentä	D 10 , C 10 v , D 5 h , D 5 d	Dih 10 = D 5 × Z 2	yksitoista

jne.

Muu

C 2n,h luokkaa 4 n on abstrakti ryhmä tyyppiä Z 2 n × Z 2 . Kun n = 1, saadaan Dih 2 , edellä kuvattu ryhmä, joten n ≥ 2.

Siten, kun 2 syklistä kristallografista pisteryhmää lihavoidaan, meillä on:

Tilaus	Isometriset ryhmät	abstrakti ryhmä	Tilauksen elementtien lukumäärä 2
kahdeksan	C4h _	Z4 × Z2 _	3
12	C6h _	Z 6 × Z 2 = Z 3 × Z 2 2 = Z 3 × Dih 2	3
16	C 8h	Z8 × Z2 _	3
kaksikymmentä	C 10h	Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2 = Z 5 × Dih 2	3

jne.

D nh luokkaa 4 n on abstrakti ryhmä, jonka tyyppi on Dih n × Z 2 . Parittoman n :n ryhmä on jo kuvattu yllä, joten tässä on D 2 n h kertalukua 8 n , joka on abstrakti ryhmä, jonka tyyppi on Dih 2 n × Z 2 ( n ≥1).

Siten korostamalla kolmea dihedristä kristallografista pisteryhmää lihavoituna, meillä on:

Tilaus	Isometriset ryhmät	abstrakti ryhmä	Tilauksen elementtien lukumäärä 2
kahdeksan	P2h _	Dih 2 × Z 2	7
16	4h _	Dih 4 × Z 2	yksitoista
24	D6h _	Dih 6 × Z 2 = Dih 3 × Z 2 2	viisitoista
32	8h _	Dih 8 × Z 2	19

jne.

Loput seitsemän ryhmää, joissa 5 kristallografista pisteryhmää on lihavoitu:

Tilaus	Isometriset ryhmät	abstrakti ryhmä	Tilauksen elementtien lukumäärä 2
12	T	A4 _	3
24	T d , O	S4_ _	6
24	T h	A 4 × Z 2	6
48	O h	S 4 × Z 2	6
60	minä	A5 _
120	I h	A 5 × Z 2

Mahdottomat diskreetit symmetriat

Koska katsaus on tyhjentävä, se osoittaa implisiittisesti mitkä tapaukset eivät ole mahdollisia diskreeteinä symmetriaryhminä. Esimerkiksi:

Akseli C 6 yhteen suuntaan ja C 3 toiseen
Akseli C 5 yhteen suuntaan ja C 4 toiseen
C 3 -akseli yhteen suuntaan ja toinen C 3 -akseli kohtisuorassa suunnassa

Jne..

Binaariset monitahoiset ryhmät

Kuvaus Spin(3) → SO(3) on pyörimisryhmän kaksoispeitto spinoriryhmällä kolmiulotteisessa avaruudessa. (Tämä on SO(3) ainoa yhdistetty peitto, koska Spin(3) on yksinkertaisesti yhdistetty.) Vastaavuuslauseen mukaan Spin(3)-alaryhmien ja SO(3) -aliryhmien välillä on Galois-vastaavuus . (pisteen kiertoryhmät) — Spinin (3) aliryhmän kuva on kiertojen pisteryhmä, ja pisteryhmän käänteiskuva on ryhmän Spin(3) aliryhmä.

Äärillisen pisteryhmän käänteiskuvaa kutsutaan binääriseksi monitahoiseksi ryhmäksi , jota merkitään <l,n,m>, ja sitä kutsutaan samalla nimellä kuin pisteryhmää, mutta siihen on lisätty binääri , kun taas ryhmän järjestys on kaksinkertaistunut suhteessa monitahoisen ryhmän (l,m ,n) suhteen. Esimerkiksi ikosaedriryhmän (2,3,5) esikuva on binäärinen ikosaedriryhmä , <2,3,5>.

Binaariset monitahoiset ryhmät:

$A_{n}$ : Binäärinen syklinen ryhmä ( n + 1)-gon, kertaluku 2 n
$D_{n}$ : n -kulman binäärinen dihedraaliryhmä , <2,2,n>, kertaluku 4 n
$E_{6}$ : Binäärinen tetraedriryhmä , <2,3,3>, järjestys 24
$E_7$ : Binäärinen oktaedriryhmä , <2,3,4>, järjestys 48
$E_8$ : Binäärinen ikosaedriryhmä , <2,3,5>, järjestys 120

Ryhmät on systematisoitu ADE-luokituksen mukaisesti ja tekijäryhmällä C 2 binaarisen monitahoisen ryhmän toiminnan mukaan on Du Val -singulaarisuus [4] .

Suunnanvaihtopisteryhmien kohdalla tilanne on monimutkaisempi, koska Pin-ryhmiä on kaksi , joten on olemassa kaksi mahdollista binääriryhmää, jotka vastaavat tiettyä pisteryhmää.

Huomaa, että tämä peitto on ryhmien , ei tilojen peitto .

Katso myös

Luettelo pallosymmetriaryhmistä
Luettelo kolmiulotteisen avaruuden kemiallisesti tärkeiden ryhmien ominaistaulukoista
Pisteryhmät kaksiulotteisessa avaruudessa
Pisteryhmät neliulotteisessa avaruudessa
Symmetria
Euklidisen tason isometria
Ryhmätoimintaa
Pistesymmetriaryhmä
Syngonia
Kristallografinen ryhmä
Luettelo pienistä tilausryhmistä
Molekyylisymmetria

Muistiinpanot

↑ Fisher, Mellor, 2007 .
↑ n kertaluvun akselilla tarkoitamme pyörimisakselia kulman 360°/ n kautta , tällaista kiertoa kutsutaan kertaluvun n kierroksi .
↑ Coxeter, 1973 .
↑ Du Val Singularities, kirjoittanut Igor Burban

Kirjallisuus

HSM Coxeter . 7 Binaariset monitahoiset ryhmät // [ [1] Tavalliset monimutkaiset polytoopit]. - Cambridge University Press, 1974. - S. 73-82.
HSM Coxeter . §12.6 Heijastojen määrä, yhtälö 12.61 // Säännölliset polytoopit . – 3. painos. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
H.S.M. Coxeter , W.O.J. Moser. 6.5 Binääriset monitahoiset ryhmät, s. 68 // Generaattorit ja suhteet diskreeteille ryhmille, 4. painos. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 .
John Horton Conway , Daniel H. Huson. Orbifold-merkintä kaksiulotteisille ryhmille // Rakennekemia. - Springer Alankomaat, 2002. - T. 13 , no. 3 . — S. 247–257 . - doi : 10.1023/A:1015851621002 .
G. L. Fisher, B. Mellor. Kolmiulotteiset äärelliset pisteryhmät ja helmihelmien symmetria // Journal of Mathematics and the Arts . – 2007.

Linkit

Graafinen yleiskatsaus 32 kristallografisesta pisteryhmästä – muodostavat ensimmäiset osat (lukuun ottamatta n = 5:n ohittamista) 7 äärettömästä sarjasta ja 5 erillisestä 3D-pisteryhmästä
Geometriakeskus: 10.1 kaavat suorakulmaisille koordinaateille (kolme ulottuvuutta)