Triviaalit objektit algebrassa

Algebrassa (matematiikan haara) monet algebralliset rakenteet ovat triviaaleja , eli yksinkertaisimpia objekteja . Kuten joukot, ne koostuvat yhdestä elementistä , jota merkitään symbolilla " 0 ", ja itse objektista - nimellä " {0} " tai yksinkertaisesti "0" kontekstista riippuen (esimerkiksi tarkoissa sarjoissa ). Triviaaleja tapauksia vastaavat objektit ovat tärkeitä päättelyn yhtenäistämisen kannalta: esimerkiksi on helpompi sanoa, että "yhtälön T x = 0 ratkaisut muodostavat aina lineaarisen avaruuden" kuin tehdä varaus "... tai joukko { 0 }".

Tärkeimmät näistä kohteista ovat:

Triviaali ryhmä , yksinkertaisin ryhmistä . Se on myös yksinkertaisin Abelin ryhmistä , ja kaikki alla luetellut objektit perivät sen rakenteen, joka ymmärretään lisäykseksi .
Triviaalisormus , yksinkertaisin sormuksista .
Nolla (triviaali tai tyhjä generoitu ) moduuli , yksinkertaisin moduuleista tietyn renkaan R yli .
Nolla- (tai nollaulotteinen ) lineaarinen avaruus kentän R päällä , yksinkertaisin lineaarisista avaruksista.
Nollaalgebra , yksinkertaisin algebra renkaan tai kentän R yli .

Kolmessa viimeisessä tapauksessa kertolasku skalaarilla määritellään κ0 = 0 , missä κ ∈ R .

Mikä tahansa nollaalgebra on myös triviaali renkaana. Kentän yläpuolella oleva nollaalgebra on nollalineaariavaruus, ja renkaan päällä se on nollamoduuli.

Tulkinta kategoriateorian avulla

Kategoriateorian kannalta triviaaliobjekti on pääteobjekti ja joskus (riippuen morfismin määritelmästä ) null (eli sekä terminaali- että alkuobjekti ).

Triviaali esine on ainutlaatuinen isomorfismiin asti .

Triviaaliobjektin terminaalisuus tarkoittaa, että morfismi A → {0} on olemassa ja on ainutlaatuinen kaikille luokan objekteille A. Tämä morfismi kuvaa objektin A jokaisen elementin arvoon 0 .

2↕ _	${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix))$	=	${\begin{bmatrix}\,\\\,\end{bmatrix))$	[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Nolla-avaruuselementti, joka on kirjoitettu tyhjäksi sarakevektoriksi (oikealla), kerrotaan tyhjällä 2 × 0 -matriisilla , jotta saadaan 2-ulotteinen nollavektori (vasemmalla). Matriisin kertolaskusääntöjä noudatetaan .

Luokissa Rng (renkaat ilman pakollista yksikköä), R - Mod ja Vect R , triviaalirengas, nollamoduuli ja välilyönti ovat nollaobjekteja. Nollaobjekti on määritelmän mukaan alkukirjain, eli morfismi {0} → A on olemassa ja on ainutlaatuinen kaikille luokan objekteille A. Tämä morfismi kuvaa 0 :n, objektin {0} ainoan elementin , nollaksi 0 ∈ A. Tämä on monomorfismi ja sen kuva (nollaelementeillä luoma alimoduuli/aliavaruus A:ssa ) on isomorfinen funktiolle {0}.

Rakenteet, joissa on yksikkö

Rakenteissa, joissa on yksikkö ( neutraali kertolaskuelementti), asiat eivät ole niin yksinkertaisia. Kun morfismin määrittely kategoriassa edellyttää niiden säilyttämistä, triviaaliobjekti on joko vain terminaalinen (mutta ei alkupää) tai sitä ei ole ollenkaan (esimerkiksi kun rakenteen määritelmä edellyttää epäyhtälöä 1 ≠ 0 ).

Yksikkörenkaiden Ring -luokassa kokonaislukujen rengas Z on alkuobjekti, ei {0}.

Katso myös

Tyhjä puoliryhmä
Triviaali algebra

Linkit

David Sharpe. Sormukset ja tekijöiden jakaminen (neopr.) . - Cambridge University Press , 1987. - S. 10 : triviaali rengas . - ISBN 0-521-33718-6 .
Barile, Margherita. Trivial Module (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Barile, Margherita. Zero Module (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .