Täydelliset ja yksiarvoiset toimijat

Kategoriteoriassa univalenttinen funktori (resp. täydellinen funktori ) on funktori, joka on injektiivinen (vastaa surjektiivinen ) jokaisessa morfismijoukossa, jossa on kiinteä kuva ja esikuva.

Tarkemmin sanottuna olkaamme paikallisesti pienet kategoriat C ja D ja olkoon F  : C → D  funktori C :stä D :hen . Tämä funktionaali indusoi funktion

jokaiselle C :n X- ja Y - objektiparille . Funktori F on nimeltään

• univalentti (tai tiukka ), jos funktio F X , Y on injektiivinen
• täydellinen , jos F X , Y on surjektiivinen
• täysin univalentti (tai täydellinen ja univalentti), jos F X , Y on bijektiivinen

jokaiselle C :n X :lle ja Y :lle .

Ominaisuudet

• Univalenttinen funktori ei välttämättä ole injektiivinen luokan C kohteissa , joten täysin univalentin funktorin kuvan ei tarvitse olla C :n kanssa isomorfinen luokka . Samoin täydellinen funktori ei välttämättä ole surjektiivinen objekteissa. Täysin univalenttinen funktori on kuitenkin injektiivinen objekteille isomorfismiin asti, eli jos F  : C → D on täysin univalenttinen ja , niin (tässä tapauksessa funktorin F sanotaan heijastavan isomorfismeja).
• Mikä tahansa univalenttinen funktori heijastaa monomorfismeja ja epimorfismeja . Tästä seuraa, että mikä tahansa tasapainotetusta kategoriasta peräisin oleva univalenttinen funktori heijastaa isomorfismeja.

Esimerkkejä

• Unohtava funktionaali U  : Grp → Set on univalenttinen, koska ryhmähomomorfismi määräytyy yksiselitteisesti tuettujen joukkojen funktiolla. Kategoria, jolla on tiukka funktio joukossa, kutsutaan konkreettiseksi kategoriaksi .
• Ab :n Grp : hen upottava funktori on täysin yksiarvoinen.

Katso myös

• Täysi alaluokka
• Luokkien vastaavuus

Kirjallisuus

• McLane S. Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M .: Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• Bucur I., Deleanu A. Johdatus kategorioiden ja funktionaalisten tekijöiden teoriaan. - M .: Mir, 1972.