Leibnizin kaava (tuotteen johdannainen)

Leibnizin kaava kahden funktion tulon -: nnelle derivaatalle on yleistys säännöstä, jolla kahden funktion tulo (ja suhde) eristetään -kertaisen differentioinnin tapaukseen. $n$ $n$

Olkoon funktiot ja sitten kertaa differentioituvia funktioita $f(z)$ $g(z)$ $n$

\left(f\cdot g\right)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{ (nk)}}g^{{(k)}}},

missä ovat binomikertoimet .

C_{n}^{k}={n \choose k}={{n!} \over {k!\;(nk)!}}

Esimerkkejä

Kun , saadaan tuotteen johdannaisen hyvin tunnettu sääntö: $n = 1$

(f\cdot g)'={f'g}+{fg'}.

Esimerkiksi tapauksessa meillä on: $n = 2$

(f\cdot g)''=\sum \limits _{{k=0}}^{{2}}{C_{2}^{k}f^{{(2-k)}}g^{ {(k)}}}={f''g}+{2f'g'}+{fg''}.

Esimerkiksi tapauksessa meillä on: $n = 3$

(f\cdot g)'''=\sum \limits _{k=0}^{3}{C_{3}^{k}f^{(3-k)}g^{(k )}}={f'''g}+{3f''g'}+{3f'g''}+{fg'''}.

Esimerkiksi tapauksessa meillä on: $n = 4$

(f\cdot g)^{(4)}=\sum \limits _{k=0}^{4}{C_{4}^{k}f^{(4-k)}g^ {(k)}}={f^{(4)}g}+{4f^{(3)}g^{(1)}}+{6f^{(2)}g^{(2)} }+{4f^{(1)}g^{(3)}}+{fg^{(4)}}.

Todistus ja yleistys

Kaavan todistus suoritetaan induktiolla käyttäen tuotesääntöä . Moniindeksimerkinnässä kaava voidaan kirjoittaa yleisempään muotoon:

\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _({\{\beta \,:\,\beta \leq \alpha \}}}{\alpha \choose \beta }(\partial ^{{\ alfa -\beta }}f)(\osittais ^{{\beta }}g).

Tätä kaavaa voidaan käyttää lausekkeen saamiseksi differentiaalioperaattoreiden koostumukselle. Todellakin, olkoot P ja Q differentiaalioperaattoreita (joilla kertoimet ovat differentioituvia riittävän monta kertaa) ja . Jos R on myös differentiaalioperaattori, yhtälö pätee: $R = P\circ Q$

R(x,\xi )=e^{{-{\langle x,\xi \rangle }}}R(e^{{\langle x,\xi \rangle }}).

Suora laskelma antaa:

R(x,\xi )=\summa _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).

Tämä kaava tunnetaan myös Leibnizin kaavana .

Kirjallisuus

Shipachev V.S. Korkeamman matematiikan perusteet: oppikirja lukioille / Toim. akad. A. N. Tikhonova. - M . : Korkeakoulu, 1989 . — 479 s. - ISBN 5-06-000048-6 .
Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. Osa 1. - 2-e. - M .: FAZIS, 1997 . — 554 s. — ISBN 5-7036-0031-6 .