Toiminnallinen analyysi
Funktionaalinen analyysi on analyysin haara , joka tutkii äärettömiä -ulotteisia topologisia vektoriavaruuksia ja niiden kartoituksia. Tärkeimpiä esimerkkejä tällaisista avaruuksista ovat funktioavaruudet [1] (sitä nimi "funktionaalinen analyysi" [2] ).
Useissa lähteissä mitta- ja integraaliteoriaa, funktioteoriaa , operaattoreiden teoriaa , differentiaalilaskentaa äärettömän ulottuvuuden avaruudessa pidetään funktionaalisen analyysin osina . 1900-luvun jälkipuoliskolla toiminnallista analyysiä täydennettiin useilla klassisten pohjalta rakennetuilla erikoistuneilla osilla.
Funktionaalinen analyysi löytää käyttöä monissa eksaktitieteissä; monet tärkeimmistä teoreettisista rakenteista on kuvattu funktionaalisen analyysin kielellä. Erityisesti 2000-luvun alussa funktionaalista analyysiä käytettiin laajalti differentiaaliyhtälöiden teoriassa , matemaattisessa fysiikassa, teoreettisessa fysiikassa (mukaan lukien kvanttimekaniikka , merkkijonoteoria ), ohjaus- ja optimointiteoriassa , todennäköisyysteoriassa , matemaattisissa tilastoissa , teoriassa. satunnaisia prosesseja ja muita alueita . Monilla tieteen ja teknologian aloilla (esimerkiksi kuvankäsittelyteoriassa) käytetty Fourier-muunnoksen teoria voidaan pitää myös osana funktionaalista analyysiä.
Jotkut funktionaalisen analyysin käsitteet
Esimerkiksi - jatkuvien funktioiden tilat, integroitavien funktioiden tilat. Tärkeä rooli on sellaisilla käsitteillä kuin mitta , metriikka , normi , pistetulo . Avaruuksien kartoittamista varten otetaan käyttöön termit, kuten " operaattori " ja " funktionaalinen ".
Historia
Funktionaalisen analyysin kehittäminen liittyy Fourier-muunnoksen, differentiaali- ja integraaliyhtälöiden tutkimiseen . Puolalainen matemaatikko Stefan Banach antoi suuren panoksen funktionaalisen analyysin kehittämiseen ja muodostumiseen .
Funktioiden esittämisen tutkiminen Fourier-muunnoksen avulla oli houkutteleva esimerkiksi siksi, että tietyille funktioluokille on mahdollista karakterisoida jatkuva pistejoukko (funktioarvot) laskettavalla arvojoukolla (kertoimien joukko). ).
Funktionaaliset analyysimenetelmät saavuttivat nopeasti suosiota matematiikan ja fysiikan eri aloilla tehokkaana työkaluna. Lineaaristen operaattoreiden teorialla oli tässä merkittävä rooli :
Funktionaalinen analyysi on kasvanut niin paljon viimeisen kahden vuosikymmenen aikana, se on tunkeutunut niin laajasti ja syvälle lähes kaikille matematiikan alueille, että nyt on jopa vaikea määritellä tämän tieteenalan aihetta. Funktionaalisessa analyysissä on kuitenkin useita suuria "perinteisiä" suuntauksia, jotka tähän päivään asti määrittävät suurelta osin sen kasvot. Niiden joukossa on lineaaristen operaattoreiden teoria , jota joskus kutsutaan funktionaalisen analyysin selkärangaksi. Operaattoriteorian kautta funktionaalinen analyysi kohtasi kvanttimekaniikan , differentiaaliyhtälöiden, todennäköisyysteorian sekä joukon sovellettavia tieteenaloja.Kostyuchenko A. G. , kirjan käännöksen toimittajan esipuhe [3] , 1962
XX vuosisadan 90-luvun lopulla. funktionaalisen analyysin aarrekammioon on lisätty aallokemuunnoksille omistettu aihe. Tämä aihe tuli käytännössä yritykseltä rakentaa uusia funktionaalisten tilojen kantaa, joilla on lisäominaisuuksia, esimerkiksi hyvä approksimaatioiden lähentymisnopeus. Kehittämiseen osallistui I. Daubechies .
Tärkeimmät tulokset
- Tasaisen rajallisuuden periaatetta voidaan soveltaa operaattoreiden joukkoon, jolla on tarkka raja.
- Avoimen näytön periaate. Sen seurauksina - Banachin lause lineaarisen operaattorin rajoitteisuudesta on käänteinen bijektiiviselle lineaarisesti rajoitetulle operaattorille, suljetun graafin lause .
- Hahn-Banachin lause funktionaalin laajentamisesta aliavaruudesta täydelliseen avaruuteen, jota laajennetaan normin säilyttämisellä. Essenssi on ei-triviaali merkitys konjugaattitiloissa.
- Yksi spektrilauseista (joita on itse asiassa useampi kuin yksi), joka antaa integraalikaavan normaalioperaattorille Hilbert-avaruudessa . Tämä on keskeinen lause kvanttimekaniikan matemaattisen perustan kannalta .
- Gelfand-Naimark-lause
- Riesz–Fréchet-lause
Tutkimussuunnat
Funktionaalinen analyysi nykytilassaan sisältää seuraavat haarat:
- Pehmeä analyysi . Approksimaatio analyysiin perustuen topologisiin ryhmiin, topologisiin renkaisiin ja topologisiin vektoriavaruuksiin.
- Banach-avaruuksien geometria .
- Eikommutatiivinen geometria . Suunnittelija Alain Conn , joka perustuu osittain George Mackeyn ergodisen teorian approksimaatioon.
- Kuvateoria . Liittyy kvanttimekaniikkaan.
- Kvanttifunktionaalinen analyysi . Operaattoreiden tilojen tutkiminen funktiotilojen sijaan.
- Epälineaarinen funktionaalinen analyysi . Funktionaalisen analyysin puitteissa tutkitaan epälineaarisia ongelmia, bifurkaatioita, sileän kartoituksen stabiiliutta, singulaarisuuksien deformaatioita jne.
Katso myös
Muistiinpanot
- ↑ Itse asiassa mikä tahansa lineaarinen avaruus, mukaan lukien äärellisulotteinen, voidaan toteuttaa funktioiden avaruudena. Tämä voidaan tehdä useilla tavoilla. Esimerkiksi lineaarinen avaruus on lineaarisesti isomorfinen tämän avaruuden Hamel-perustaisen funktiojoukon (tai minkä tahansa sitä vastaavan joukon) kanssa, jotka ovat nollasta poikkeavia vain äärellisessä määrässä pisteitä. Toinen vaihtoehto: upotamme lineaarisen avaruuden V sen toiseen algebralliseen konjugattiin, eli kaikkien lineaaristen funktionaalisten funktioiden avaruuteen kaikkien V:n lineaarifunktioiden avaruuteen.
- ↑ Linnik, Anna Borisovna, Timchenko, Galina Nikolaevna. Funktionaalisen analyysin kehityksen historia // Vestnik Nats. tekniikka. un-ta "KhPI": la. tieteellinen tr .. - Kharkov, 2011. - Nro 20 . - S. 79 . Arkistoitu alkuperäisestä 12. toukokuuta 2018.
- ↑ Dunford N., Schwartz J. Lineaariset operaattorit. - M .: IL , 1962 . - T. 1. Yleinen teoria. - s. 5-6.
Kirjallisuus
- Banach S. Lineaaristen operaatioiden teoria. Izhevsk: Tutkimuskeskus "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", 2001. ISBN 5-93972-031-5 .
- Berezansky Yu.M., Us G.F., Sheftel Z.G. Functional analysis. Luentokurssi. Kiova. Valmistua koulusta. 1990. 600 s.
- Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Todellinen ja toiminnallinen analyysi. Yliopistokurssi. Tutkimuskeskus "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", Tietotekniikan tutkimuslaitos, 2009. - 724 s. ISBN 978-5-93972-742-6 .
- Dunford N., Schwartz J. T. Lineaariset operaattorit. T. I: Yleinen teoria. - M.: IL, 1962.
- Dunford N., Schwartz J. T. Lineaariset operaattorit. Osa II: Spektriteoria. - M.: Mir, 1966.
- Dunford N., Schwartz J. T. Lineaariset operaattorit. Osa III: Spektrioperaattorit. - M.: Mir, 1974.
- Yosida K. Funktionaalinen analyysi. Per. englannista. - M.: Mir, 1967. - 624 s.
- Kantorovich L. V. , Akilov G. P. Funktionaalinen analyysi. Moskova: Nauka, 1984.
- Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Funktioteorian elementit ja funktionaalinen analyysi. - toim. neljäs, tarkistettu. - M .: Nauka , 1976 . — 544 s.
- Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 2. painos. M.: Nauka, 1965. 520 s.
- Nirenberg L. Luennot epälineaarisesta funktionaalisesta analyysistä = Topics in nonlinearfunctional analysis. - M.: Mir, 1977. - 232 s.
- Funktionaalisen analyysin alkuperästä ja kehityksestä. la artikkeleita. // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M . : Nauka , 1973. - Nro 18 . - S. 13-103 .
- Pugachev V. S. Luennot toiminnallisesta analyysistä. M.: MAI Publishing House, 1996. - 744 s.
- Lue M., Simon B. Modernin matemaattisen fysiikan menetelmät. Volume 1. Funktionaalinen analyysi. M.: Mir, 1977. 358 s.
- Rudin W. Funktionaalinen analyysi = Funktionaalinen analyysi. - M.: Mir, 1975. - 443 s.
- Trenogin V. A. Funktionaalinen analyysi. - M .: Nauka , 1980 . — 496 s.
- Toiminnallinen analyysi / toimittaja Crane S. G. - 2., tarkistettu ja täydennetty. - M .: Nauka , 1972 . — 544 s. — (Matemaattinen viitekirjasto).
- Helemsky A. Ya. Luennot funktionaalisesta analyysistä. M.: MTSNMO, 2009. - 304 s.
- Helemsky A. Ya. Kvanttifunktionaalinen analyysi koordinaatittomassa esityksessä. M.: MTsNMO, 2004. - 552s.
- Hille E., Phillips R. Funktionaalinen analyysi ja puoliryhmät. M.: IL, 1962. 830 s.
- Brudno A. L. Reaalimuuttujan funktioiden teoria. - M.: Nauka, 1971. - 119 s.
- Weinberg M. M. Funktionaalinen analyysi. - M .: Koulutus, 1979. - 128 s.
- Levy P. Funktionaalisen analyysin konkreettisia ongelmia. - M.: Nauka, 1967. - 510 s.
- Toiminnalliset tilat : tili. ratkaisu yliopistoille: rec. Opetusmenetelmä. Moskovan fysiikan ja tekniikan instituutin neuvosto / G. N. Yakovlev ; Venäjän federaation opetusministeriö, MIPT (GU). - M.: MIPT, 2000 .- 136 s. -500 kappaletta. - ISBN 5-7417-0144-2 .
 Sanakirjat ja tietosanakirjat | ||||
|---|---|---|---|---|
| ||||
| Matematiikan alat | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Portaali "Tiede" | ||||||||||
| Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra | ||||||||||
| Lukuteoria ( aritmetiikka ) | ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||