Riemannin toiminto (RFDF)

Riemannin funktio on esimerkki reaalimuuttujan funktiosta, joka on jatkuva irrationaalisten lukujen joukossa , mutta epäjatkuva rationaalisten lukujen joukossa . Sellaisenaan sillä on tärkeä rooli matemaattisessa analyysissä [1] . Se on muunnos Dirichlet - funktiosta . Venäläisissä lähteissä sitä kutsutaan yleensä "Riemannin funktioksi" Bernhard Riemannin kunniaksi , englanninkielisessä kirjallisuudessa tällä funktiolla on paljon muita nimiä: Thomaen funktio, popcorn-funktio, sadepisarafunktio, laskettava pilvifunktio, modifioitu Dirichlet. funktio, viivainfunktio [2] .

Määritelmä

Riemannin funktio määritellään todelliselle argumentille seuraavasti. $R(x)$ $x$

Jos on irrationaalinen luku , niin funktio on yhtä suuri kuin nolla. Jos on rationaalinen luku , joka esitetään pelkistämättömänä murtolukuna (jossa ), niin funktion arvo on yhtä suuri kuin $x$
$x$ ${\frac {m}{n}}$ $n>0$ ${\frac {1}{n).$

Erityisesti ,. $R(0)=1$

Ominaisuudet

Toiminto on rajoitettu - se ottaa arvoja välissä Se on jaksollinen jaksolla 1: $R(x)$ $[0,1].$ $f(x+1)=f(x).$

Funktio on jatkuva kaikkialla irrationaalisten lukujen joukossa, koska funktion raja kussakin sellaisessa pisteessä on nolla, mutta on epäjatkuva kaikissa rationaalisissa pisteissä. Lisäksi jokaisessa rationaalisessa pisteessä funktiolla on tiukka paikallinen maksimi [3] .

Riemannin funktio ei ole missään erotettavissa , mutta Riemann on integroitavissa millä tahansa aikavälillä. Tässä tapauksessa integraali on nolla kaikkialla, koska funktio on nolla melkein kaikkialla . Huomaa, että siihen liittyvä Dirichlet-funktio ei ole Riemannin integroitavissa [4] .

Muistiinpanot

↑ Shibinsky, 2007 , s. 24.
↑ William Dunham. Calculus-galleria . - Princeton University Press, 2005. - s . 149 . — ISBN 0-691-09565-5 .
↑ Shibinsky, 2007 , s. 62-63.
↑ Shibinsky, 2007 , s. 146-147.

Kirjallisuus

Shibinsky VM Esimerkkejä ja vastaesimerkkejä matemaattisen analyysin aikana. Opastus. - M . : Higher School, 2007. - 543 s. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Linkit

Muokattu Dirichlet - funktio . Haettu: 2.5.2019.
Weisstein, Eric W. Dirichlet Function (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .