Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste

Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste
Kolmio, sen ympärillä oleva rajattu ympyrä (musta) ja sen keskipiste (musta), kolmion korkeudet (Eulerin ympyrän sisällä oleva korkeusosa on sininen ja sen ulkopuolella musta) ja yhdeksän pisteen ympyrä ( sininen) ja sen keskusta (sininen)
barysentriset koordinaatit	$a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:$ $b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:$ ${\displaystyle c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2))$
Trilineaariset koordinaatit	$\cos(BC):\cos(CA):\cos(AB)$
ECT- koodi	X(5)
Yhdistetyt pisteet
isogonaalisesti konjugoitu	piste Kosnita

Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste on yksi kolmion merkittävimmistä pisteistä . Sitä kutsutaan usein nimellä . $O_{9}$

Yhdeksän pisteen ympyrä eli Eulerin ympyrä kulkee kolmion yhdeksän tärkeän pisteen läpi - sivujen keskipisteet, kolmen korkeuden kantat ja ortokeskiön kolmion kärkipisteisiin yhdistävien segmenttien keskipisteet. Tämän ympyrän keskipiste on lueteltu pisteenä X(5) Clark Kimberlingin Encyclopedia of Triangle Centersissä [1] [2] .

Ominaisuudet

Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste sijaitsee kolmion Euler-linjalla ortokeskiön ja rajatun ympyrän keskikohdan välissä . Keskipiste sijaitsee myös tällä viivalla 2/3 etäisyydellä ortosenteristä ympyrän [2] [3] keskipisteeseen , joten $O_{9}$ $H$ $O$ $M$

O_{9}O=O_{9}H=3O_{9}M~.

Siten, jos näiden neljän keskuksen pari tunnetaan, kahden muun sijainti on helppo löytää.

Andrew Guinand vuonna 1984 tutkiessaan ongelmaa, joka tunnetaan nyt nimellä Eulerin kolmioongelma , osoitti, että jos näiden keskusten sijainti tuntemattomalle kolmiolle on annettu, niin kolmion keskipiste on ortosentriidisen ympyrän sisällä (ympyrä, jonka halkaisija on on keskipisteen ja ortosenterin välinen segmentti). Vain yksi piste tämän ympyrän sisällä ei voi olla piirretyn ympyrän keskipiste - se on yhdeksän pisteen keskipiste. Mikä tahansa muu piste tämän ympyrän sisällä määrittää yhden kolmion [4] [5] [6] [7] .
Etäisyys yhdeksän pisteen ympyrän keskustasta keskipisteeseen täyttää kaavat: $minä$

IO_{9}<{\dfrac {1}{2}}IO~,

IO_{9}={\dfrac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {R}{2}}~,

2R\cdot IO_{9}=OI^{2}~,

missä ja ovat rajatun ja piirretyn ympyrän säteet , vastaavasti. $R$ $r$

Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste on mediaanikolmion , ortokolmion ja Eulerin kolmion [8] [3] rajattujen ympyröiden keskipiste . Yleisesti ottaen tämä piste on sellaisen kolmion rajatun ympyrän keskipiste, jolla on mitkä tahansa kolme yhdeksästä luetellusta pisteestä kärkeinä.
Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste osuu yhteen neljän pisteen painopisteen kanssa - kolmion kolme pistettä ja sen ortosentti [9] .
Eulerin ympyrän yhdeksästä pisteestä kolme on kärjet ortosentriin (Euler-Feuerbach-kolmion kärjet) yhdistävien segmenttien keskipisteitä . Nämä kolme pistettä ovat kolmion sivujen keskipisteiden heijastuksia yhdeksän pisteen ympyrän keskipisteestä.
Siten yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste toimii symmetrian keskipisteenä , jolloin keskimmäinen kolmio muuttuu Euler-Feuerbach-kolmioksi (ja päinvastoin) [3] .
Lesterin lauseen mukaan yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste on samalla ympyrällä kolmen muun pisteen kanssa - kaksi Fermat-pistettä ja rajatun ympyrän keskipiste [10] .

Kolmion Kosnita-piste, joka liittyy Kosnitan lauseeseen , on isogonaalisesti konjugoitu yhdeksän pisteen ympyrän keskipisteeseen [11] . (katso kuva.)
Viiva, joka kulkee Vectenin kahden pisteen kautta ja leikkaa Euler-viivan kolmion yhdeksän pisteen keskellä . $X(485)X(486)$ $X(485)$ $X(486)$ $ABC$

Yhdeksän pisteen ympyrän keskipisteen kolmiviivaiset koordinaatit ovat [1] [2] :

\cos(BC):\cos(CA):\cos(AB)

=\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B

=\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B

=bc[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]:ca[b^{2 }(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}]:ab[c^{2}(a^{2}+b^ {2})-(a^{2}-b^{2})^{2}]~.

a\cos(BC):b\cos(CA):c\cos(AB)

=a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{ 2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^ {2}-b^{2})^{2}~.

↑ 1 2 Kimberling, 1994 , s. 163-187.
↑ 1 2 3 4 Encyclopedia of Triangle Centers , käytetty 23.10.2014.
↑ 1 2 3 Dekov, 2007 .
↑ Stern, 2007 , s. 1–9.
↑ Euler, 1767 , s. 103–123.
↑ Guinand, 1984 , s. 290-300.
↑ Franzsen, 2011 , s. 231-236.
↑ Tässä ei pidä sekoittaa lukuteorian Eulerin kolmiota (kuten Pascalin kolmiota) ja Eulerin kolmiota Euler-pisteiden muodostamana kolmiona. Euler-pisteet ovat niiden segmenttien keskipisteitä, jotka yhdistävät orokeskipisteen kolmion kärkipisteisiin.
↑ The Encyclopedia of Triangle Centers selittää tämän havainnon Randy Hutsonin (2011) ansioksi.
↑ Yiu, 2010 , s. 175–209.
↑ Rigby, 1997 , s. 156-158.

Kimberling. Keskipisteet ja keskiviivat kolmion tasossa // Mathematics Magazine. - 1994. - T. 67 , no. 3 . — .
Stern. Eulerin kolmion määritystehtävä // Forum Geometricorum. - 2007. - T. 7 .
Dekov. Yhdeksän pisteen keskipiste // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. – 2007.
Euler. Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum (latinaksi) // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1767. - T. 11 .
Andrew P. Guinand. Euler-viivat, tritangenttikeskukset ja niiden kolmiot // American Mathematical Monthly . - 1984. - T. 91 , no. 5 . — .
William N Franzsen. Etäisyys keskipisteestä Euler-viivaan // Forum Geometricorum. - 2011. - Ongelma. 11 .
Paul Yiu. Lesterin, Evansin, Parryn ympyrät ja niiden yleistykset // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .

Rigby. Lyhyet huomautukset joistakin unohdetuista geometrisista teoreemoista // Mathematics and Informatics Quarterly. - 1997. - Voi. 7.

Weisstein, Eric W. Nine-Point Center (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Kolmio
Kolmioiden tyypit	Suorakulmainen Tasakylkinen Tasasivuinen Tasakylkinen suorakaiteen muotoinen
Ihanat linjat kolmiossa	Mediaani Korkeus Bisector Keskisuorassa keskiviiva Piirretyt ja kaiverretut ympyrät Simsonin suora Eulerin linja Simediana Cheviana
Kolmion merkittäviä pisteitä	Orthocenter Keskus Incent Brocardin piste Vecten-piste Point Gergonne Lemoinen piste Miquel pointti Nagelin piste Napoleonin pisteet Torricellin kohdat Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste Spieker Center Kolmiokeskusten tietosanakirja
Peruslauseet	kolmion epätasa-arvo Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta Kolmioiden ratkaiseminen Kolmion ulkokulman lause Kolmion kulmien summan lause Pythagoraan lause Kosinilause Sinilause Projektiolause Heronin kaava
Lisälauseita	Van Obelin lause Menelaoksen lause Reuschlen (Terkema) lause Stewartin lause Tangenttilause Kotangenttilause Cevan lause Mollweiden kaavat
Yleistykset	pallomainen kolmio hyperbolinen kolmio Yksinkertainen