Epäkeskisyys

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Epäkeskisyys on kartioleikkauksen numeerinen ominaisuus , joka osoittaa sen poikkeaman ympyrästä . Yleensä merkitään tai . $e$ $\varepsilon$

Epäkeskisyys on muuttumaton tason liikkeiden ja samankaltaisuusmuunnosten alla .

Määritelmä

Kaikki ei-degeneroituneet kartioleikkaukset, paitsi ympyrä , voidaan kuvata seuraavasti: valitsemme tasosta pisteen ja suoran ja asetamme reaaliluvun ; silloin niiden pisteiden paikka, joiden etäisyyksien suhde pisteeseen ja linjaan on yhtä suuri kuin , on kartioleikkaus; eli jos on projektio , niin $F$ $d$ $e>0$ $M$ $F$ $d$ $e$ $M'$ $M$ $d$

FM=e\cdot MM'

Tätä lukua kutsutaan kartioleikkauksen epäkeskisyydeksi . Ympyrän epäkeskisyys on määritelmän mukaan 0. $e$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Pistettä kutsutaan kartioleikkauksen keskipisteeksi . $F$
Suoraa viivaa kutsutaan suuntaviivaksi . $d$

Kartioleikkaus napakoordinaateissa

Kartioleikkaus, jonka yksi polttopiste sijaitsee navalla, on annettu napakoordinaateina yhtälöllä:

r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}

missä on epäkeskisyys ja toinen vakioparametri (ns. polttoparametri ). $e$ $\ell$

On helppo osoittaa, että tämä yhtälö vastaa yllä annettua määritelmää. Pohjimmiltaan sitä voidaan käyttää vaihtoehtoisena epäkeskisuuden määritelmänä, ehkä vähemmän perustavanlaatuisena, mutta kätevänä analyyttisestä ja sovelletusta näkökulmasta; erityisesti se osoittaa selvästi epäkeskisyyden roolin kartioleikkausten luokittelussa ja selventää tietyllä tavalla edelleen sen geometrista merkitystä.

Ominaisuudet

Epäkeskisyydestä riippuen se osoittautuu:
- kun - hyperboli . Mitä suurempi hyperbelin epäkeskisyys on, sitä enemmän sen kaksi haaraa näyttävät samansuuntaisilta suorilta viivoilta; $e>1$
- kun - paraabeli ; $e=1$
- milloin - ellipsi ; $0\leq e<1$
- ympyrälle , . $e=0$

Ellipsin ja hyperbolin epäkeskisyys on yhtä suuri kuin keskipisteen ja keskipisteen välisen etäisyyden suhde puolipääakseliin. Tätä ominaisuutta pidetään joskus epäkeskisyyden määritelmänä. Aikaisemmin (esimerkiksi vuonna 1787 [1] ) ne eivät jakaneet puolipääakselilla - etäisyyttä polttopisteestä keskustaan kutsuttiin ellipsin epäkeskisyydeksi [2] .
Ellipsin epäkeskisyys voidaan ilmaista myös sivuakselien ( ) ja suuren ( ) puoliakselien suhteena: $b$ $a$

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

Hyperbolin epäkeskisyys voidaan ilmaista kuvitteellisen ( ) ja todellisen ( ) puoliakselin suhteena: $b$ $a$

e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

Tasasivuisen hyperbolin epäkeskisyys, joka on käänteinen suhteellisuuskaavio ja joka saadaan yhtälöllä , on yhtä suuri kuin . $f(x)={k \over x},x\neq 0,k\neq 0$ ${\sqrt {2}}$

Ellipsille se voidaan ilmaista myös peri- ( ) ja aposenterin ( ) säteiden suhteena: $r_{\mathrm {per} }$ $r_{\mathrm {ap} }$

e={\frac {r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {per} }}{r_{\mathrm {ap} }+r_{\mathrm {per} }}}=1-{\frac {2}{{\frac {r_{\mathrm {ap} }}{r_{\mathrm {per} }}}+1}}

Katso myös

Muistiinpanot

↑ John Bonnycastle. Johdatus tähtitieteeseen . - Lontoo, 1787. - S. 90.
↑ Oxfordin englannin sanakirja . – 2. painos - Oxford: Oxford University Press , 1989. - Voi. V. - P. 50.

Kirjallisuus

Akopyan AV , Zaslavsky AA Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet . — M.: MTsNMO , 2007. — 136 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Hienoa norjalaista Britannica (verkossa) Työpöytä
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4340863-1