Epsilon verkko

ε -verkko ( epsilon -verkko , ε -tiheä joukko) metriavaruuden osajoukolleon joukkosamasta avaruudestasiten, että missä tahansa pisteessäon piste, jokaon enintään ε :n päässä . $M$ $X$ $Z$ $X$ $x\in M$ $z\in Z$ $x$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Metrista avaruutta, jossa jokaiselle on olemassa äärellinen verkko, kutsutaan täysin rajatuksi . $\varepsilon> 0$ $\varepsilon$

Joukon metriikan sanotaan olevan täysin rajoitettu, jos se on täysin rajattu metriavaruus. $\rho$ $X$ $(X,\rho)$

Sellaista metriavaruuksien perhettä, jossa millä tahansa on luonnollinen luku , joka sallii enintään pisteen -verkon, kutsutaan universaalisti täysin rajatuksi . $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ $\varepsilon > 0$ $N_\varepsilon$ $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ $\varepsilon> 0$ $N_\varepsilon$
- Tällaisille perheille Gromovin kompaktisuuslauseen analogi pätee .

Topologista avaruutta , joka on homeomorfinen täysin rajatun metriavaruuden kanssa, kutsutaan metrisoitavaksi täysin rajatuksi metriikaksi .

Esimerkkejä

Standardimetriikassa rationaalilukujen joukko on ε -verkko reaalilukujen joukolle mille tahansa ε > 0 :lle .
Kokonaislukujoukko on ε -verkko reaalilukujoukolle for $\varepsilon\ge 0{,}5$

Ominaisuudet

Metriavaruudella on vastaava täysin rajattu metriikka silloin ja vain, jos se on erotettavissa .
Topologinen avaruus voidaan mitata täysin rajatulla metriikalla silloin ja vain, jos se on säännöllinen ja täyttää toisen laskettavuuden aksiooman .
Metrinen avaruus on kompakti silloin ja vain, jos se on täydellinen ja täysin rajattu. Hieman yleisemmässä muotoilussa Hausdorffin kompaktisuuslause sanoo, että jotta metrisen avaruuden osajoukko olisi suhteellisen kompakti , se on välttämätöntä, ja jos avaruus on täydellinen , riittää, että mille tahansa elementille on olemassa äärellinen ε -verkko. sarjasta . $M$ $X$ $X$ $\varepsilon > 0$ $M$

Todiste

Tarve

Olkoon joukko (suhteellisen) kompakti. Korjaamme ja harkitsemme minkä tahansa elementin . Jos jollekin , niin yhden elementin äärellinen ε -verkko on jo rakennettu. Muuten on olemassa sellainen elementti , että . Muita vaihtoehtoja on kaksi. Joko jollekin ainakin yhdelle luvuista tai on pienempi kuin , ja sitten kahden alkion äärellinen ε -verkko on jo rakennettu, tai on elementti , joka on sellainen , että , , ja niin edelleen. Osoitetaan, että pisteiden rakennusprosessi päättyy äärellisen askelmäärän jälkeen, mikä tarkoittaa, että muodostuu äärellinen ε -verkko. Jos näin ei olisi, saisimme sekvenssin , jolle . Mutta silloin itse sekvenssi tai sen osasekvenssit eivät voi konvergoida, mikä on ristiriidassa joukon tiiviyden kanssa . Joten kompaktille joukolle olemme rakentaneet äärellisen ε -verkon, jonka pisteet kuuluvat itse joukkoon. $M$ $\varepsilon > 0$ $x_{1} \in M$ $\rho(x, x_{1}) < \varepsilon$ $x \ in M$ $x_{2} \in M$ $\rho(x_{2}, x_{1}) \geqslant \varepsilon$ $x \ in M$ $\rho(x, x_{1})$ $\rho(x, x_{2})$ $\varepsilon$ $x_{3} \in M$ $\rho(x_{3}, x_{1}) \geqslant \varepsilon$ $\rho(x_{3}, x_{2}) \geqslant \varepsilon$ $x_{1}, x_{2}, \ldots$ $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots$ $\rho(x_{i}, x_{j}) \geqslant \varepsilon$ $i \neq j$ $\{ x_{n} \},$ $M$ $M$

Riittävyys

Oletetaan, että mille tahansa joukolle on olemassa ε -verkko . Otetaan numeerinen sekvenssi , jossa ja jokaiselle rakennamme -verkon . Harkitse mielivaltaista sekvenssiä . Koska : lle on -net , niin alkiosta riippumatta meillä on se ainakin yhdelle elementille . Siksi mikä tahansa elementti putoaa vähintään yhteen palloon , toisin sanoen koko sarja ja varsinkin koko sarja sijoittuu näihin palloihin. Koska palloja on äärellinen määrä ja sarja on ääretön, on ainakin yksi pallo , joka sisältää äärettömän osajonon sekvenssistämme. Tämä perustelu voidaan toistaa . Tehdään diagonaalinen osasekvenssi . Osoittakaamme, että tämä sarja konvergoi itsessään. Koska ja for sisältyvät -th osasekvenssiin, ja -th osasekvenssi sisältyy pallo , Sitten varten . Oletuksena on, että tila on täynnä. Siksi sekvenssin konvergenssi itsessään seuraa sen konvergenssia tiettyyn rajaan asti, ja tämä todistaa mahdollisuuden valita konvergentti osasekvenssi mistä tahansa sekvenssistä, eli joukon (suhteellisen) tiiviyden [1] $\varepsilon > 0$ $M$ $\mathcal{f} \varepsilon_{n} \mathcal{g}$ $\varepsilon_{n} \rightarrow 0$ $n \rightarrow \infty$ $n$ $\varepsilon_{n}$ $N_{n} = \{ z_{1}^{(n)}, z_{2}^{(n)}, \ldots, z_{m_{n}}^{(n)} \}$ $\{ x_{n} \} \in M$ $N_{1}$ $\varepsilon_{1}$ $M$ $x \ in M$ $\rho(x, z_{i}^{(1)}) < \varepsilon_{1}$ $z_{i}^{(1)} \in N_{1}$ $x \ in M$ $S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1}), i=1, 2, \ldots, m_{1}$ $M$ $\{ x_{n} \}$ $\{ x_{n} \}$ $S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1})$ $\{ x_{n}^{(1)} \}$ $N_{m}, m = 2, 3, \lpistettä$ $x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(2)}, \ldots, x_{k}^{(k)}, \ldots$ $x_{k}^{(k)}$ $x_{k+p}^{(k+p)}$ $p>0$ $k$ $k$ $S(z_{i}^{(k)}, \varepsilon_{k})$ $\rho(x_{k+p}^{(k+p)}, x_{k}^{(k)}) \leqslant \varepsilon_{k} \rightarrow 0$ $k \rightarrow \infty$ $X$ $\{ x_{k}^{(k)} \}$ $\{ x_{n} \}$ $M.$

Täydellinen metriavaruus on kompakti, jos ja vain jos jollekin siinä on kompakti ε -verkko. $\varepsilon> 0$

Muistiinpanot

↑ Sobolev V.I. Luentoja matemaattisen analyysin lisäluvuista. - M .: Nauka, 1968 - s. 59.

Kirjallisuus

D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Metrinen geometrian kurssi. Moscow-Izhevsk: Institute for Computer Research, 2004, 512 s. ISBN 5-93972-300-4 .
Engelking, R. Yleinen topologia. — M .: Mir , 1986. — 752 s.