Fourier-analyysi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 18. maaliskuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Fourier - analyysi on analyysin suunta , joka tutkii , kuinka yleisiä matemaattisia funktioita voidaan esittää tai approksimoida yksinkertaisempien trigonometristen funktioiden summan avulla . Fourier-analyysi sai alkunsa Fourier-sarjan ominaisuuksien tutkimuksesta , ja se on nimetty Joseph Fourierin mukaan, joka osoitti, että funktion esittäminen trigonometristen funktioiden summana yksinkertaistaa suuresti lämmönsiirron tutkimusta.

Fourier-analyysi löytää sovelluksen useiden matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa. Tieteessä ja tekniikassa funktion hajottamista värähteleviksi komponenteiksi kutsutaan Fourier-analyysiksi, ja funktioiden toimintaa ja palauttamista sellaisista osista kutsutaan Fourier-synteesiksi.

Esimerkiksi määritettäessä, mitkä taajuuskomponentit nuotissa ovat, valittuun nuottiin sovelletaan Fourier-analyysiä. Sen jälkeen voit syntetisoida saman äänen käyttämällä analyysin aikana havaittuja taajuuskomponentteja.

Hajoamisprosessia kutsutaan Fourier-muunnokseksi .

Sovellus

Fourier-analyysillä on monia sovelluksia tieteessä - fysiikassa, osittaisdifferentiaaliyhtälöissä, lukuteoriassa, kombinatoriikassa, signaalinkäsittelyssä, digitaalisessa kuvankäsittelyssä, todennäköisyysteoriassa, tilastoissa, oikeuslääketieteessä, kryptografiassa, numeerisessa analyysissä, akustiikassa, valtameritutkimuksessa, geometriassa, rakenneanalyysin proteiinit ja muut alueilla.

Tämä laaja sovellettavuus johtuu muunnoksen monista hyödyllisistä ominaisuuksista:

Muunnos on lineaarinen kuvaus ja sopivalla normalisoinnilla myös unitaarinen (tämä ominaisuus tunnetaan Parsevalin lauseena tai yleisemmin Plancherelin lauseena ja yleensä johtuu Pontryaginin kaksinaisuuden käsitteestä ) [1] .

Muutos on yleensä palautuva.
Eksponentiaaliset funktiot ovat ominaisfunktioita differentiaatiooperaatiolle, mikä tarkoittaa, että tällainen esitys muuttaa lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimisiksi tavallisiksi algebrallisiksi yhtälöiksi ( Evans 1998 ). Siten on mahdollista analysoida lineaaristen stationääristen järjestelmien käyttäytymistä itsenäisesti kullekin taajuudelle.
Konvoluutiolauseen ansiosta Fourier - muunnokset muuttavat monimutkaisen konvoluutiooperaation yksinkertaiseksi kertolaskuksi, mikä tarkoittaa, että tällaiset muunnokset mahdollistavat tehokkaalla tavalla laskelmat konvoluutiopohjaisilla operaatioilla, kuten polynomien kertolasku ja suurten lukujen kertominen [2] .
Tietokoneet voivat nopeasti laskea Fourier-muunnoksen diskreetin version käyttämällä nopeaa Fourier-muunnosta (FFT) [3] .

Oikeuslääketieteessä laboratorion infrapunaspektrofotometrit käyttävät Fourier-muunnosanalyysiä valon aallonpituuden mittaamiseen, jolla materiaali absorboi infrapunaa. Fourier-muunnosmenetelmää käytetään mitattujen signaalien dekoodaamiseen ja aallonpituustietojen tallentamiseen. Ja tietokonetta käytettäessä tällaisia laskelmia käytetään nopeasti, joten tällainen tietokoneohjattu laite voi tuottaa infrapuna-absorptiospektrin muutamassa sekunnissa [4] .

Fourier-muunnosta käytetään myös signaalin kompaktiin esittämiseen. Esimerkiksi JPEG - pakkausalgoritmi käyttää Fourier-muunnoksen modifikaatiota (diskreetti kosinimuunnos) digitaalisen kuvan pienille neliömäisille paloille. Kunkin neliön Fourier-komponentit pyöristetään alaspäin aritmeettista tarkkuutta pienemmäksi, ja pienet komponentit jätetään huomiotta, joten loput komponentit voidaan varastoida erittäin tiiviisti. Kuvan rekonstruoinnin aikana jokainen neliö palautetaan säilytetyistä likimääräisistä Fourier-muunnoskomponenteista, jotka sitten muunnetaan takaisin suunnilleen palautetuksi alkuperäiseksi kuvaksi.

Fourier-analyysin muunnelmia

(jatkuva) Fourier-muunnos

Useimmiten ilman tarkennusta Fourier-muunnos tarkoittaa todellisen argumentin soveltamista muunnoksen jatkuviin funktioihin, mikä johtaa jatkuvaan taajuuden funktioon, joka tunnetaan taajuusjakaumina. Toiminto siirtyy toiseen, ja itse toiminto on palautuva. Kun syötefunktion (alku) toimialue on aika ( t ) ja alkufunktion (lopullinen) alue on taajuus, funktion s ( t ) muunnos taajuudella f saadaan kaavalla:

S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-2i\pi ft}\,dt.

Tämän arvon laskeminen kaikille f :n arvoille muodostaa funktion taajuusalueella. Tällöin s ( t ) voidaan esittää monimutkaisten eksponentien rekombinaatioina kaikilla mahdollisilla taajuuksilla:

s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{2i\pi ft}\,df,

joka on kompleksiluvun S ( f ) käänteiskaava, sisältää sekä taajuuden f amplitudin että vaiheen .

Fourier-sarja

Jaksottaisen funktion Fourier-muunnoksesta s P ( t ) , jaksolla P , tulee funktio, joka on Dirac-kampa, jota moduloi kompleksikertoimien sarja:

S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}} t}\,dt

kaikille k :n kokonaislukuarvoille , ja missä ∫ P on integraali pituudelta P.

Käänteismuunnos, joka tunnetaan nimellä Fourier-sarja, on s P ( t ) :n esitys potentiaalisesti äärettömän määrän harmonisesti toisiinsa liittyvien sinimuotojen tai kompleksisten eksponentiaalisten funktioiden summana, joista jokaisella on amplitudi ja vaihe, jonka antaa jokin seuraavista. kertoimet:

s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{2i\pi {\frac {k}{P}}t} \quad {\stackrel {\displaystyle {\mathcal {F))}{\Longleftrightarrow ))\quad \sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left( f-{\frac {k}{P}}\oikea).

Kun s P ( t ) on määritetty toisen funktion jaksoittaiseksi summaksi, s ( t ) :

s_{P}(t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),

kertoimet ovat verrannollisia S ( f ) : n alkioihin diskreeteille intervalleille P :

S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\oikea).

{\displaystyle \int _{P}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP)\right)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k }{P}}t}\,dt=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}} t}\,dt} _{{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,S\left({\frac {k}{P}}\oikea)))

Riittävä ehto s ( t ) (ja siten S ( f ) ) rekonstruoimiseksi vain näistä elementeistä (eli Fourier-sarjasta) on, että nollasta poikkeava näyte s ( t ) rajoittuu tunnettuun pituuteen P , kaksinkertaistamalla taajuusalue Nyquist-Shannonin näytelauseen mukaan .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Rudin, 1990 .
↑ Knuth, 1997 .
↑ Conte, de Boor, 1980 .
↑ Saferstein, Richard. Kriminalistiikka: Johdatus rikostekniseen tieteeseen (englanniksi) . – 2013.

Kirjallisuus

Conte, SD; deBoor, Carl. Numeerinen alkeisanalyysi . — Kolmas. - New York: McGraw Hill, Inc., 1980. - ISBN 0-07-066228-2 .
Evans , L. Osittaisdifferentiaaliyhtälöt . - American Mathematical Society, 1998. - ISBN 3-540-76124-1 .
Howell, Kenneth B. Fourier- analyysin periaatteet . - CRC Press , 2001. - ISBN 978-0-8493-8275-8 .
Kamen, E. W.; Heck, BS Signals and Systems Fundamentals of the Web ja Matlab . - 2. - Prentiss-Hall, 2000. - ISBN 0-13-017293-6 .
Knuth, Donald E. Tietokoneohjelmoinnin taito Osa 2 : Puolinumeeriset algoritmit . – 3. - Addison-Wesley Professional , 1997. - P. Osa 4.3.3.C: Diskreetit Fourier-muunnokset, s. 305. — ISBN 0-201-89684-2 .
Müller, Meinard. Fourier-muunnos pähkinänkuoressa . - Springer, 2015. - P. In Fundamentals of Music Processing , jakso 2.1, s. 40-56. — ISBN 978-3-319-21944-8 . - doi : 10.1007/978-3-319-21945-5 .
polyaniini, AD; Manzhirov, A. V. Integraaliyhtälöiden käsikirja (englanniksi) . - Boca Raton: CRC Press , 1998. - ISBN 0-8493-2876-4 .
Rudin, Walter. Fourier- analyysi ryhmistä . - Wiley-Interscience , 1990. - ISBN 0-471-52364-X .
Smith, Steven W. Digitaalisen signaalinkäsittelyn tutkijan ja insinöörin opas . — Toiseksi. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-3-3 .
Stein, E.M.; Weiss, G. Johdatus euklidisten avaruuksien Fourier-analyysiin . — Princeton University Press , 1971. — ISBN 0-691-08078-X .

Linkit

Integraalimuunnostaulukot EqWorldissa: Matemaattisten yhtälöiden maailma.
Steven Leharin intuitiivinen selitys Fourier-teoriasta .
Luennot kuvankäsittelystä: 18 luennon kokoelma pdf-muodossa Vanderbiltin yliopistosta. Luento 6 käsittelee 1- ja 2-D Fourier-muunnoksia. Luennot 7-15 hyödyntävät sitä. Kirjailija: Alan Peters
Moriarty, Philip; Bowley, Roger ∑ Summaatio (ja Fourier-analyysi) . Kuusikymmentä symbolia . Brady Haran Nottinghamin yliopistosta (2009). (määrätön)

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNE : XX527483 BNF : 11942178c GND : 4023453-8 J9U : 987007548251005171 LCCN : sh85051088 NKC : ph117564 SUDOC : 04070890X , 027363988