Rössler houkutin

Rössler-attraktori on kaoottinen attraktori , joka Rössler-differentiaaliyhtälöjärjestelmässä on [1] :

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-yz\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz} {dt}}=b+z(xc)\end{matriisi}}\oikea.$ ;

missä ovat positiiviset vakiot. Parametrien ja arvoille Rössler-yhtälöillä on vakaa rajasykli . Näillä parametrien arvoilla järjestelmässä tapahtuu jakson kaksinkertaistuva kaskadi . Klo , kaoottinen houkuttelija syntyy . Hyvin määritellyt rajasyklien rivit hämärtävät ja täyttävät vaiheavaruuden äärettömällä joukolla lentoratoja, joilla on fraktaalin ominaisuudet . ${\näyttötyyli a,b,c}$ $a=b=0,2$ $2.6\leq c\leq 4.2$ $c>4.2$

Rössler itse tutki järjestelmää vakioilla , ja , mutta arvoja , ja käytetään myös usein [2] . $a=0.2$ $b=0,2$ $c=5.7$ $a=0.1$ $b=0,1$ $c=14$

Analyysi järjestelmän käyttäytymisestä tasossa

Kaksi Rössler-järjestelmän yhtälöistä on lineaarisia. Kun he ottavat muodon $z=0$

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{matrix}}\right .$

Siksi liikkeen stabiilisuus tasossa määräytyy Jacobi-matriisin ominaisarvoilla , jotka ovat yhtä suuria kuin . $z=0$ ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}$ ${\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$

Johtopäätös

Etsitään matriisin ominaisarvot

${\begin{pmatrix}0-\lambda &-1\\1&a-\lambda \\\end{pmatrix))$ .

Determinantti on siis $-\lambda a+{\lambda }^{2}+1=0$

$\lambda _{1,2}={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$

Kun , ominaisarvoilla on positiivinen reaaliosa ja ne ovat monimutkaisia konjugaattia. Siksi vaiheradat poikkeavat origosta spiraalimaisesti. Analysoidaan nyt koordinaattien muutos laskemalla . Niin kauan kuin se on pienempi kuin , yhtälön tekijä pitää lentoradan lähellä tasaista . Heti kun se kasvaa , -koordinaatti alkaa kasvaa. Suuri parametri puolestaan alkaa hidastaa kasvua vuonna . $0<a<2$ $z$ $0<a<2$ $x$ $c$ $xc$ ${\frac {dz}{dt))$ $x,y$ $x$ $c$ $z$ $-z$ $x$ ${\frac {dx}{dt))$

Kiinteät kohdat

Kiinteiden pisteiden yhtälöt löytyvät asettamalla Rössler-yhtälöjärjestelmän derivaatat nollaksi. Tuloksena käy ilmi, että on olemassa kaksi kiinteää pistettä:

\left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2)),{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab)) }{2a)),{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

\left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2)),{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab)) }{2a)),{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2a))\right)

Kuten yllä olevasta Rössler-attraktorin projektiokuvasta näkyy, yksi näistä pisteistä sijaitsee attraktorispiraalin keskellä ja toinen kaukana siitä.

Parametrien a, b ja c muuttaminen

Rössler-traktorin käyttäytyminen riippuu voimakkaasti vakioparametrien arvoista. Jokaisen parametrin muutoksella on tietty vaikutus, jonka seurauksena järjestelmään voi ilmaantua vakaa kiinteä piste, rajasykli tai järjestelmän ratkaisut "karkaavat" äärettömään.

Bifurkaatiokaaviot ovat vakiotyökalu dynaamisten järjestelmien, mukaan lukien Rössler-attraktorin, käyttäytymisen analysointiin. Ne luodaan ratkaisemalla yhtälöt järjestelmästä, jossa kaksi muuttujaa on kiinteä ja yksi muutettu. Tällaista kaaviota rakennettaessa saadaan lähes täysin "varjostetut" alueet; tämä on dynaamisen kaaoksen valtakunta.

Parametrin muuttaminen a

Korjaamme ja muutumme . $b=0,2$ $c=5.7$ $a$

Tuloksena empiirisesti saamme seuraavan taulukon:

$a\leq 0$ : Konvergoimassa vakaaseen pisteeseen.
$a=0.1$ : Pyöritään jaksolla 2.
$a=0.2$ : Kaaos (Rössler-yhtälöiden vakioparametri) .
$a=0.3$ : Kaoottinen houkutin.
$a=0,35$ : Samanlainen kuin edellinen, mutta kaaos on selvempi.
$a=0,38$ : Samanlainen kuin edellinen, mutta kaaos on vielä vahvempi.

b-parametrin muuttaminen

Korjaamme ja nyt muutamme parametria . Kuten kuvasta voidaan nähdä, koska attraktori pyrkii nollaan, se on epävakaa. Kun se kasvaa ja , järjestelmä tasapainottuu ja siirtyy kiinteään tilaan. $a=0.2$ $c=5.7$ $b$ $b$ $b$ $a$ $c$

c-parametrin muuttaminen

Korjaa ja muuta . Bifurkaatiokaaviosta voidaan nähdä, että pienillä arvoilla järjestelmä on jaksollinen, mutta kasvaessaan se muuttuu nopeasti kaoottiseksi. Kuvat osoittavat tarkasti, kuinka järjestelmän satunnaisuus muuttuu kasvaessa . Esimerkiksi, kun = 4, attraktorin jakso on yhtä suuri kuin yksi, ja kaaviossa on yksi rivi, sama tapahtuu, kun = 3 ja niin edelleen; kunnes se on yli 12: viimeiselle jaksolliselle käyttäytymiselle on ominaista tämä arvo, sitten kaaos menee kaikkialle. $a=b=0.1$ $c$ $c$ $c$ $c$ $c$ $c$

Annamme esimerkkejä houkuttimen käyttäytymisestä ilmoitetulla arvoalueella , jotka kuvaavat tällaisten järjestelmien yleistä käyttäytymistä - toistuvia siirtymiä jaksoisuudesta dynaamiseen kaaokseen. $c$

Katso myös

Lorentzin houkutin

Muistiinpanot

↑ Peitgen, Heinz-Otto ; Jürgens, Hartmut & Saupe, Dietmar (2004), 12.3 Rössler Attractor, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science , Springer, s. 636–646 .
↑ Letellier, C.; V. Messager. Vaikutuksia Otto E. Rösslerin aikaisimpaan kaaosta käsittelevään artikkeliin // International Journal of Bifurcation & Chaos : päiväkirja. - 2010. - Vol. 20 , ei. 11 . - P. 3585-3616 .

Linkit

Flash-animaatio
OE ROSSLER – YHTÄLÖ JATKUVASTA KAAOSISTA (linkki ei saatavilla)
Java-animaatio Rössler- ja Lorenz-attraktoreista Arkistoitu 2008-03-11
Attraktorin rakentaja MacOS:lle
Rössler-attraktori osoitteessa Scholarpedia.org

Kirjallisuus

Voronov V.K., Podoplelov A.V. Moderni fysiikka: Oppikirja. M., KomKniga, 2005, 512 s., ISBN 5-484-00058-0 , ch. 2 Avointen järjestelmien fysiikka. s. 2.4 Rösslerin kaoottinen attraktori.