Knaster-Kuratovskyn fani

Knaster-Kuratovsky-tuuletin on esimerkki tällaisesta yhdistetystä tason osajoukosta, jonka yhden pisteen poistaminen tekee sen täysin irti . Puolalaisten matemaatikoiden Knasterin ja Kuratowskin ehdottama [1] .

Rakennus

Harkitse suorakulmiota

S=[0;1]\times \left[0;{\tfrac {1}{2}}\right]

Rakennamme Cantor-joukon sen alareunaan ja merkitsemme pisteiden joukolla ensimmäisen lajin Cantor -joukkoa (eli kaikkien kaukojaksojen päät) ja kaikilla muilla pisteillä . Olkoon tämä jana, joka yhdistää pisteen pisteeseen $C$ $A$ $B$ $C$ $L_c$ $c\in C$ $s=\left({\tfrac {1}{2));{\tfrac {1}{2}}\oikea).$

Näissä merkinnöissä Knaster-Kuratovsky-viuhka on joukko , jossa $X=Q\cup I$

{\displaystyle Q=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_{c},\;c\in A,\;y\in \mathbb {Q} \))

I=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_{c},\;c\in B,\;y\notin \mathbb {Q} \}.

Perustelut

Osoitetaan, että esitelty joukko on yhdistetty.

Oletetaan, että näin ei ole, eli on joukkoja ja sellaisia, että ja samaan aikaan . Varmuuden vuoksi oletamme, että . Merkitse pisteenä , jonka -koordinaatti on yhtä suuri kuin kaikkien pisteen sisältämien pisteiden tarkat yläpinnat -koordinaatit . Jos se on tyhjä, oletamme, että . Ilmeisesti se ei voi kuulua ryhmään , koska muuten tämä piste olisi raja molemmille ja :lle , mikä on ristiriidassa irrotusoletuksen kanssa. Eli tai . $Y$ $Z$ $X=Y\cup Z$ ${\overline {Y}}\cap Z=Y\cap {\overline {Z}}=\emptyset$ $s\in Y$ $u_{c}$ $L_c$ $y$ $y$ $Z\cap L_{c}$ $Z\cap L_{c}$ $u_{c}=c$ $u_{c}$ $X\setminus C$ $Y$ $Z$ $\forall c\in C\quad u_{c}\in A\subset X$ $u_{c}\notin X$

Antaa olla kaikki rationaaliset luvut väli , merkitse: $\{r_{i}\}$ $[0; yksi]$

P_{i}=\{c\in B:\exists u_{c}=(x,r_{i})\},\quad P=\cup P_{i},\quad T=\{ c\in B:\;c=u_{c}\}

Siis , eli . Huomaa, että ne eivät ole missään tiheitä kohdassa , muuten olisi avoin intervalli, jonka leikkauspiste olisi sisällä , mutta minkä tahansa tällaisen leikkauspisteen on Cantor-joukon ominaisuuksien mukaan sisällettävä pisteitä kohdasta while . $B=T\cup P$ $C=A\cup T\cup P$ $P_{i}$ $C$ $C$ $P_{i}$ $A$ $P_{i}\subset B=C\setminus A$

Joukko on toisen luokan joukko täydellisenä metriavaruutena; lisäksi mikä tahansa avoin osajoukko kuuluu myös toiseen luokkaan. Mutta ensimmäinen luokka ( laskettavissa, ja on nowhere tiheiden joukkojen laskettava liitto), mikä tarkoittaa, että minkä tahansa avoimen osajoukon täytyy sisältää pisteitä ; eli tiukasti sisään . $C$ $C$ $P\cup A$ $A$ $P$ $C$ $T$ $T$ $C$

Oletetaan nyt niin . Tiheyden vuoksi mikä tahansa avoin joukko sisältää myös jonkin segmentin segmentin joillekin . Joukon määritelmän mukaan meillä on , mikä tarkoittaa, että . Meillä on ristiriita. Tämä tarkoittaa, että oletus, että joukkoa ei ole yhdistetty, on virheellinen. $z\in Z$ $T$ $C$ $z$ ${\näyttötyyli L_{t))$ $t\in T$ $T$ $(X\cap L_{t})\setminus \{t\}\subset Y$ $z\in {\overline {Y}}$ $X$

On vielä osoitettava, että pisteen poistaminen katkaisee sen kokonaan. Oletetaan, että se on yhteydessä. Silloin sen on sijaittava kokonaan jonkin segmentin sisällä (muuten se jaetaan kahdeksi jollakin segmentillä). Laite on kuitenkin täysin irrotettu ja siten täysin irti. $s$ $X$ $V\subset X\setminus \{s\}$ $L_c$ $L_{c}\cap (X\setminus \{s\})$ $V$

Muistiinpanot

↑ Knaster B., Kuratowski C. . Sur les ensembles connexes, rahasto. Math. 2 (1921) s. 206-255.

Kirjallisuus

Aleksandrov P.S., Pasynkov B.A. Johdatus ulottuvuusteoriaan. Johdatus topologisten avaruuksien teoriaan ja yleiseen ulottuvuusteoriaan.
Steen, Seebach. Vastaesimerkkejä topologiassa