Rayleigh aallot

Rayleigh - aallot ovat pinta - akustisia aaltoja . Ne on nimetty Rayleighin mukaan, joka teoriassa ennusti ne vuonna 1885 [1] .

Kuvaus

Rayleigh-aallot etenevät lähellä kiinteän kappaleen pintaa. Tällaisten aaltojen vaihenopeus on suunnattu yhdensuuntaisesti pinnan kanssa. Tällaisessa aallossa olevat väliaineen hiukkaset tekevät elliptistä liikettä sagitaalitasossa (jossa ovat nopeusvektori ja pinnan normaali). Värähtelyamplitudit vaimenevat etäisyydellä pinnasta eksponentiaalisten lakien mukaisesti ja aaltoenergia keskittyy alueelle, joka on aallonpituuden luokkaa etäisyydellä pinnasta [2] .

Rayleigh-aalto isotrooppisessa kappaleessa

Homogeenisen, isotrooppisen ja ihanteellisesti elastisen väliaineen, jonka tiheys on ρ, äärettömän pienen tilavuuden liikeyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}}{\partial t^2}=\mu\Delta\textbf{U}+(\lambda+\mu)\,\textrm{grad}\,\textrm {div}\textbf{U},

(yksi)

missä U on äärettömän pienen tilavuuden siirtymä suhteessa tasapainoasemaan, λ ja μ ovat elastisia vakioita , Δ on Laplacen operaattori . Tietylle aaltoyhtälölle etsitään ratkaisuja poikittais- ja pitkittäissiirtymien superpositiolla U = U t + U l , missä U l =grad φ ja U t =rot ψ . φ ja ψ ovat skalaari- ja vektoripotentiaalit. Uusien tuntemattomien yhtälö ( 1 ) on aaltoyhtälö riippumattomille siirtymäkomponenteille [3] :

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_l}{\partial t^2}-(\lambda+2\mu)\Delta\textbf{U}_l=0,

(2.1)

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_t}{\partial t^2}-\mu\Delta\textbf{U}_t=0.

(2.2)

Jos aalto etenee x-akselia pitkin, voidaan isotrooppisessa tapauksessa ottaa huomioon vain värähtelyt tasossa (x, z). Kun otetaan huomioon komponenttien riippumattomuus y:stä tasoaaltoaaltolle, potentiaalien aaltoyhtälöt ovat muotoa:

\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-k_l^2\frac{\partial^2 \phi}{ \partial t^2}=0,

(3.1)

\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}-k_t^2\frac{\partial^2 \psi}{ \partial t^2}=0,

(3.2)

missä ovat pitkittäis- ja poikkiaaltojen aaltoluvut. Näiden yhtälöiden ratkaisut, jos otetaan vain vaimennettuja ratkaisuja, esitetään tasoaaltojen muodossa [4] : $k_l=\omega\sqrt{\rho/(\lambda+2\mu)},$ $k_t=\omega\sqrt{\rho/\mu},$

\phi=A\textrm{exp}[-qz+i(kx-\omega t)],

(4.1)

\psi=B\textrm{exp}[-sz+i(kx-\omega t)],

(4.2)

missä ; ; ; A ja B ovat mielivaltaisia vakioita. Nämä ratkaisut edustavat aaltoyhtälön yleistä ratkaisua vaimennetulle aallolle, ja tietyn ratkaisun löytämiseksi on tarpeen asettaa rajaehdot väliaineen pinnalle. $q^2=k^2-k_l^2$ $s^2=k^2-k_t^2$ $k^2>k_t^2>k_l^2$

Siirtokomponentit esitetään seuraavasti:

U_x=\frac{\partial \phi}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial z},

(5.1)

U_z=\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{\partial \psi}{\partial x}.

(5.1)

Vapaan rajan tapauksessa jännitystensorikomponentit saavat nolla-arvot:

T_{zz}=\lambda\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right)+2 \mu\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x\partial z}\right)=0,

(6.1)

T_{xz}=\mu \left(2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial z))+{\frac {\partial ^{2}\psi } {\partial x^{2))}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2))}\right)=0.

(6.2)

Ratkaisujen ( 4 ) korvaamisen jälkeen saadaan homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä amplitudien A ja B suhteen , jolla on ei-triviaali ratkaisu vain, jos järjestelmän determinantti on yhtä suuri kuin nolla ( Rayleigh -yhtälö ), nimittäin [5 ] :

\eta^6-8\eta^4+8(3-2\xi^2)\eta^2-16(1-\xi^2)=0,

(6)

missä ,. _ Tällä yhtälöllä on yksi Rayleigh-aaltoon liittyvä juuri, joka riippuu vain Poissonin suhteesta ν: $\eta=k_t/k$ $\xi=k_l/k_t$

\eta_R=\frac{0.87+1.12\nu}{1+\nu}.

(7)

Sieltä löytyvät Rayleigh-aallon siirtymäkomponentit [6] :

U_x=Ak_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2q_Rs_R}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\left[ i\left(k_Rx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\right],

(8.1)

U_z=Aq_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2k_R^2}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\ vasen[i\left(k_Rx-\omega t\oikea)\oikea].

(8.2)

Rayleigh-tyyppisten aaltojen käytännön sovellukset

Rayleigh-tyyppisiä aaltoja (pseudo-Rayleigh-aaltoja) käytetään menestyksekkäästi teknisissä seismisissä tutkimuksissa tunneleiden vuorauksen [7] , teräsbetonin, betonilaattojen, muurausten tai päällysteiden [8] takana olevien kivien ja maaperän elastisten parametrien tutkimiseen . Nopeuksien lisääntyessä syvyyden myötä (yleensä päivänpinnalta tehdyissä tutkimuksissa) alemman kerroksen poikittaisaaltojen nopeudet määritetään pseudo-Rayleigh-aaltojen dispersiokäyristä (katso kuva). Tätä menetelmää käytetään laajasti käytännössä ja se on perusteltu elastisuusteorian kannalta.

Muistiinpanot

↑ Lordi Rayleigh. Aalloilla, jotka leviävät elastisen kiinteän aineen tasopintaa pitkin // Proc . Lontoon matematiikka. soc. : päiväkirja. - 1885. - Voi. s1-17 , no. 1 . - s. 4-11 .
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. yksitoista.
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. 7.
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. kahdeksan.
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. 9.
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. kymmenen.
↑ Kuljetustunneleiden vuorauksen takana olevien maaperän ominaisuuksien ja kunnon arviointi 2D seismisellä tomografialla. Boyko O. V. (pääsemätön linkki) . Haettu 10. heinäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 10. heinäkuuta 2015. (määrätön)
↑ Fysikaalisten ja mekaanisten ominaisuuksien ja lujuusominaisuuksien määrittäminen muuraukselle, betonille, teräsbetonirakenteille ja päällysteille. (linkki ei saatavilla) . Käyttöpäivä: 10. heinäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 9. heinäkuuta 2015. (määrätön)

Kirjallisuus

Viktorov IA Äänen pinta-aallot kiinteissä aineissa. - M .: Nauka, 1981. - 287 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	iso kiinalainen Britannica (verkossa)