Dirac kampa

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. huhtikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Dirac-kampa on jaksollinen Schwartz-jakauma , joka on rakennettu deltafunktioista

\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \sum _{{k=-\infty }}^{{\infty }}\delta (t -kT)

joksikin ajaksi . $T$

Fourier-sarja

Ilmeisesti jaksoittain ajan kanssa . Siksi $\Delta _{T}(t)$ $T$

\Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)

kaikille . Monimutkainen Fourier-sarja tällaiselle jaksolliselle funktiolle $t$

\Delta _{T}(t)=\sum _{{n=-\infty }}^{{+\infty }}c_{n}e^{{i2\pi nt/T}}\

jossa Fourier-kertoimet ovat yhtä suuret $c_{{n}}$

$c_n$	$={\frac {1}{T}}\int _{{t_{0}}}^{{t_{0}+T}}\Delta _{T}(t)e^{{-i2\pi nt/T}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\$
	$={\frac {1}{T}}\int _{{-T/2}}^{{T/2}}\Delta _{T}(t)e^{{-i2\pi nt/T }}\,dt\$
	$={\frac {1}{T}}\int _{{-T/2}}^{{T/2}}\delta (t)e^{{-i2\pi nt/T}}\, dt\$
	$={\frac {1}{T}}e^{{-i2\pi n\,0/T}}\$
	$={\frac {1}{T}}.\$

Seurauksena siitä, että kaikki Fourier-kertoimet ovat yhtä suuret , saamme lopullisen lausekkeen $1/T$

\Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}e^{{i2\pi nt/T} }

Linkit

Bracewell, RN (1986), The Fourier Transform and Its Applications (tarkistettu toim.), McGraw-Hill ; 1. painos 1965, 2. painos. 1978.
Córdoba, A (1989), Dirac combs, Letters in Mathematical Physics, osa 17: 191–196