Kaksinkertainen rivi

Kaksoissarja on numeerinen sarja, jonka alkiot on numeroitu positiivisten kokonaislukujen (indeksien) pareilla, joita tarkastellaan yhdessä toisen sekvenssin kanssa, jota kutsutaan sarjan osasummien sekvenssiksi [1] .

Määritelmä

Antaa olla numeerinen sarja ; tarkastele yhdessä annetun sekvenssin kanssa sarjan osittaisten summien järjestystä ${\displaystyle \{a_{i,j}\}_{i=1,j=1}^{\infty ))$

\{s_{k,l}\}_{k=1,l=1}^{\infty },

jonka jokainen elementti on joidenkin alkuperäisen sekvenssin jäsenten summa

\{s_{k,l}\}=\sum _{i=1,j=1}^{i=k,j=l}a_{i,j}

Yleensä sarjaa käytetään symbolilla:

\sum _{i=1,j=1}^{\infty }a_{i,j},

koska tässä on ilmoitettu sarjan elementtien alkuperäinen järjestys sekä summaussääntö.

Tämän mukaisesti numeerisen kaksoissarjan konvergenssista sanotaan:

numeerinen kaksinkertainen sarja konvergoi , jos sen osittaisten summien sekvenssi konvergoi, eli sarja konvergoi ja sillä on summa , jos mikä tahansa , on numeroita ja sellainen, että epätasa-arvo pätee ja . Myös ehto kaksoissarjan suppenemiselle summaan voidaan kirjoittaa muodossa ${\näyttötyyli \{a_{i,j}}\}}$ $s$ $\varepsilon >0$ $m_{{0}}$ $n_{{0}}$ ${\displaystyle m>m_{0))$ $n>n_{{0}}$ $\|s_{mn}-s\|<\varepsilon$ $s$

$\lim _{n,m\to \infty }s_{mn}=s$ .

numeerinen kaksoissarja hajoaa , jos sen osasummien järjestys poikkeaa ;
numeerinen kaksoissarja suppenee absoluuttisesti , jos sen jäsenten moduulien sarja konvergoi.

Jos lukusarja konvergoi, niin sen osasummien sarjan rajaa kutsutaan sarjan summaksi : $S$

{\displaystyle S=\sum _{i=1,j=1}^{\infty }a_{i,j))

Ominaisuudet

Olkoon kaikki rivit suppenevat suppenevassa kaksoissarjassa , jonka summa on , ja myös niiden summista koostuvan sarjan konvergoimaan, eli yhtäläisyyksissä ja . Sitten . Vastaavasti, jos on rajoituksia ja . Sitten [2] . $\{a_{m,n}\}_{m,n=1}^{\infty }$ $s$ ${\displaystyle s_{i*}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}a_{ij))$ $s'=\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}s_{i*}$ $s=s'$ ${\displaystyle s_{*j}=\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}a_{ij))$ ${\displaystyle s''=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}s_{*j))$ $s=s''$
Markovin lause. Olkoon kaikki rivit ja sarakkeet suppenevat kaksoisriveksi . Merkitään rivien summa . ${\näyttötyyli \{a_{i,j}}\}}$ ${\displaystyle s_{m*}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn))$ ${\displaystyle s_{*n}=\sum _{m=1}^{\infty }a_{mn))$ $s'=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m*}$

Sitten:

- $k$ -rivien loput muodostavat suppenevan sarjan , jossa on jokin summa . ${\displaystyle r_{m}^{(k)}=\sum _{n=k+1}^{\infty }a_{mn))$ ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }r_{m}^{(k)))$ ${\displaystyle R_{k))$
- Jotta sarakkeiden summista muodostuva sarja lähentyisi, on välttämätöntä ja riittävää, että raja on olemassa . ${\displaystyle s''=\sum _{n=1}^{\infty }s_{*n))$ $\lim _{k\to \infty }R_{k}=R$
- Tasa-arvon kannalta on välttämätöntä ja riittävää, että on [3] . $s'=s''$ $R=0$

Muistiinpanot

↑ Vorobjov, 1986 , s. 234.
↑ Vorobjov, 1986 , s. 238.
↑ Vorobjov, 1986 , s. 239.

Kirjallisuus

Vorobjov N. N. Sarjojen teoria. - M .: Nauka, 1986. - 408 s.