Bernsteinin ongelma

Bernsteinin ongelma on ongelma funktion graafista, joka on minimaalinen pinta. Nimetty Sergei Natanovich Bernshteinin mukaan, joka ratkaisi tämän ongelman kaksiulotteisen tapauksen vuonna 1914.

Bernsteinin ongelma osoittautui läheisesti liittyväksi kysymykseen epätasaisten minimaalisten hyperpintojen olemassaolosta vastaavassa ulottuvuudessa.

Sanamuoto

Millä ehdoilla kaikessa määritellyn funktion kaavion , joka on minimipinta , on oltava tasainen? $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\R^{n+1}$

Vastaus: Tämä on totta ja epätosi . Vastaava esimerkki funktiosta löytyy lomakkeen funktioista $n\leqslant 7$ $n\geqslant 8$ $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8})=F(u, v)

missä

u={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2))},\quad { \text{u}}\quad v={\sqrt {x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}} }.

Muistiinpanot

Bernsteinin ongelma osoittautui suoraan liittyväksi kysymykseen alueen minimoivan ei-tasomaisen kartion olemassaolosta. Erityinen esimerkki tällaisesta hyperpinnasta on pinta $\mathbb {R} ^{n}$

\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^ {2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}

Historia

Vuonna 1914 Bernstein osoitti, että ongelman väite pitää paikkansa . [1] ( Bernsteinin satulagraafi lause todistettiin samassa artikkelissa .) $n = 2$
Vuonna 1962 Fleming antoi toisen todisteen Bernsteinin lauseesta, joka johti sen tosiasiasta, että osassa ei ole ei-tasomaista pinta-alaa minimoivaa kartiota . [2] $\mathbb {R} ^{3}$
Vuonna 1965 de Giorgi osoitti, että jos ei ole pinta-alaa minimoivia ei-tasomaisia kartioita, niin Bernsteinin lauseen analogi on totta . Erityisesti tapaus seuraa tästä . [3] $\mathbb {R} ^{n}$ $n$ $n = 3$
Vuonna 1966 Almgren osoitti, että alueella ei ole pinta-alaa minimoivia ei-tasomaisia kartioita , ja näin ollen yleisti Bernsteinin lauseen . $\R^4$ $n = 4$
Vuonna 1968 Simons osoitti pinta-alan minimoivien ei-tasomaisten kartioiden puuttumisen ja yleisti näin Bernsteinin lauseen . [neljä] $\mathbb{R} ^{7}$ $n\leqslant 7$
- Hän antoi myös esimerkkejä paikallisesti vakaista kartioista vuonna , mutta ei pystynyt todistamaan, että ne minimoivat alueen. $\mathbb {R} ^{8}$
Vuonna 1969 Bombieri , de Giorgi ja Giusti osoittivat, että Simonin kartiot todellakin minimoituvat ja että huipussa on kaavioita, jotka ovat minimaalisia mutta eivät tasaisia. [5] $\R^{n+1}$ $n\geqslant 8$
- Yhdessä Simonsin tuloksen kanssa tämä ratkaisee täysin Bernsteinin ongelman.

Muistiinpanot

↑ Bernstein, SN (1915–1917), Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique, Comm. soc. Matematiikka. Kharkov Vol . 15: 38–45 Saksankielinen käännös julkaisussa Bernstein, Serge (1927), Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus , Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg). — V. 26: 551-558, ISSN 0025-5874 , DOI 10.1007/BF01475472 Venäjänkielinen käännös Uspekhi matematicheskikh nauk, voi. VIII (1941), 75-81 ja S. N. Bernshtein, Collected Works. T. 3. (1960) s. 251-258.
↑ Fleming, Wendell H. (1962), On the oriented Plateau problem , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . Serie II osa 11: 69–90, ISSN 0009-725X , DOI 10.1007/BF02849427
↑ De Giorgi, Ennio (1965), Una estensione del teorema di Bernstein , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) Vol. 19: 79–85 , < http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1965_3_19_1_79_0 > Arkistoitu 16. kesäkuuta 2015 Wayback Machinessa
↑ Simons, James (1968), Minimal varieties in riemannian monifolds, Annals of Mathematics. Second Series Vol. 88: 62–105, ISSN 0003-486X
↑ Bombieri, Enrico ; De Giorgi, Ennio & Giusti, E. (1969), Minimal cones and the Bernstein-ongelma , Inventiones Mathematicae T. 7: 243-268, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01404309