Lebesguen ongelma

Lebesguen tehtävänä on löytää pienimmän alueen tasokuva, joka voi peittää minkä tahansa halkaisijaltaan 1 tasokuvan.

Muistiinpanot

Mikä tahansa halkaisijan 1 luku voidaan peittää vakioleveydellä 1 (jokaisella halkaisijan 1 luvulla on oma vakioleveyden luku, eli vakioleveyden luku riippuu halkaisijan luvusta 1). Vakioleveyksillä lukujen halkaisija on sama kuin leveys. Siksi Lebesguen ongelma rajoittuu niin, että löydetään pienimmän alueen tasainen luku, joka voi kattaa vakioleveyden 1.

Lebesguen hahmon tiedetään olevan olemassa, mutta se ei ehkä ole ainoa. Jos sen alue, niin se tiedetään $L$

0{,}826\approx {\tfrac {\pi }{8}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{4}}<L<{\tfrac {2}{121}}\ cdot {\sqrt {28634\cdot {\sqrt {3}}-15139}}+\arccos {\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2}}-{\tfrac {\pi }{3 }}-{\tfrac {109}{121}}-{\tfrac {82}{121\cdot {\sqrt {3}}}}\noin 0{,}845.

Alaraja todistettiin [1] .

Ylemmän arvion löytämiseksi riittää kuvitella litteä kuvio, joka pystyy peittämään minkä tahansa litteän hahmon, jonka halkaisija on 1. Tällaisia lukuja ovat (pinta-alan mukaan laskevassa järjestyksessä):

Neliö, jonka sivu on 1, sen pinta-ala on 1;
Säännöllinen kuusikulmio, jonka leveys on 1, sen pinta-ala on ; ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\noin 0{,}866$
Pienin tällä hetkellä tunnettu hahmo tällä ominaisuudella on säännöllinen kuusikulmio, jonka leveys on 1 ja jossa on 3 kulmaa tietyllä tavalla leikattu pois. Tasakylkiset kolmiot leikataan kahdesta kulmasta, joiden kantat koskettavat kuusikulmioon merkittyä ympyrää; kolmas kulma leikataan kahta ympyrää, joiden säde on 1 ja jotka koskettavat sivuja etäisyydellä, joka on yhtä suuri kuin tällaisen tasakylkisen kolmion sivu.

Muistiinpanot

↑ Ogilvy, CS Retket geometriassa. New York: Dover, s. 142-144, 1990.

Kirjallisuus

Yaglom IM , Boltyansky VG Kuperat hahmot . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 s. - (Matematiikan ympyrän kirjasto, numero 4).

Linkit

Lebesgue Minimal Problem at Wolfram Mathworld .