Riemannin ongelma mielivaltaisen epäjatkuvuuden rappeutumisesta

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 27. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Riemannin ongelma mielivaltaisen epäjatkuvuuden vaimenemisesta on analyyttisen ratkaisun muodostaminen jatkumomekaniikan ei-stationaarisille yhtälöille , joita sovelletaan mielivaltaisen epäjatkuvuuden vaimenemiseen [1] . Täysin ratkaistu rajoitetussa erityistapauksissa - ihanteellisen kaasun kaasudynamiikan yhtälöille ja tarkemmille approksimaatioille (ns. kaasu, jossa on kaksitermininen tilayhtälö ) ja matalan veden teorian yhtälöt . Magneettisen kaasudynamiikan yhtälöiden ratkaisu voidaan rakentaa ilmeisesti yhden melko monimutkaisen tavallisen differentiaaliyhtälön numeerisen ratkaisun tarpeeseen asti.

Lavastus

Yksiulotteinen epäjatkuvuuden hajoamisen ongelma on ratkaistu - toisin sanoen oletetaan, että ennen ensimmäistä ajanhetkeä kaksi avaruuden aluetta, joilla on erilaiset termodynaamisten parametrien arvot (kaasudynamiikassa tämä on tiheys, nopeus, ja kaasun paine) erotettiin ohuella väliseinällä, ja ensimmäisellä hetkellä väliseinä poistetaan. On tarpeen rakentaa ratkaisu (eli kaikkien termodynaamisten parametrien riippuvuus ajasta ja koordinaateista) muuttujien mielivaltaisille alkuarvoille. $t = 0$

Ratkaisu mielivaltaisen epäjatkuvuuden vaimenemisen ongelmaan on määrittää kaasudynaaminen virtaus, joka tapahtuu . Toisin sanoen kyseessä on Cauchyn ongelman ratkaiseminen kaasudynamiikan yhtälöille , jossa alkuehdot on annettu yllä kuvatun mielivaltaisen epäjatkuvuuden muodossa. $t>0$

Ratkaisu

Osoittautuu, että divergenttimuodossa kirjoitetuille yhtälöjärjestelmille ratkaisu on itsestään samankaltainen .

Ratkaisua etsitään yhtälöjärjestelmän rakenteen määräämän alkeisaaltojen joukon muodossa. Erityisesti kaasudynamiikkaa varten nämä ovat: shokkiaalto , harventumisaalto , kosketusten epäjatkuvuus . Esitetään ratkaisu eksplisiittisessä muodossa ihanteellisen levossa olevan kaasun erityistapaukselle adiabaattisen eksponentin kanssa . Olkoon paineen , tiheyden ja nopeuden alkuhetkellä muoto: $\gamma$ $P$ $\rho$ $v$

	$x<0$	$x>0$
$v(x)$	$0$	$0$
$\rho (x)$	${\näyttötyyli \rho _{L}}$	${\näyttötyyli \rho _{R}}$
$P(x)$	$P_{L}$	$PR}$

ja - aalto menee oikealle. Silloin ratkaisulla on mielivaltaisena hetkenä muoto $P_{L}>P_{R}$ $t$

	$x<-c_{L}t$	$-c_{L}t<x<(v_{2}-c_{2})t$	$(v_{2}-c_{2})t<x<v_{2}t$	$v_{2}t<x<Dt$	$x>dt$
	häiriötöntä asiaa	harvinainen aalto	Harvinaisuaaltorintaman ja kontaktien epäjatkuvuuden välinen alue	Koskettimen epäjatkuvuuden ja iskuaaltorintaman välinen alue	häiriötöntä asiaa
$v(x)$	$0$	$\displaystyle v_{2}{\frac {x+c_{L}t}{(v_{2}-c_{2}+c_{L})t))$	$v_{2}$	$v_{2}$	$0$
$\rho (x)$	${\näyttötyyli \rho _{L}}$	$\displaystyle \rho _{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{ \frac {2}{\gamma -1}}$	$\rho _{2}$	$\rho_{1}$	${\näyttötyyli \rho _{R}}$
$P(x)$	$P_{L}$	$\displaystyle P_{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}$	$P_2$	$P_2$	$PR}$

Tässä on äänen nopeus häiriöttömässä väliaineessa vasemmalla, , , , ovat kaasuparametrit ja äänen nopeus iskuaaltorintaman ja koskettimen epäjatkuvuuden välillä, , , ovat kaasuparametrit kosketuksen epäjatkuvuuden ja iskuaallon välillä, ja on iskuaallon nopeus. Nämä viisi parametria määritetään epälineaarisesta yhtälöjärjestelmästä, joka vastaa energian, massan ja liikemäärän säilymisen lakeja: ${\displaystyle c_{L}={\sqrt {\gamma P_{L}/\rho _{L))))$ $v_{2}$ $P_2$ $\rho _{2}$ ${\displaystyle c_{2}={\sqrt {\gamma P_{2}/\rho _{2))))$ $v_{2}$ $P_2$ $\rho_{1}$ $D$

{\displaystyle \displaystyle \rho _{1}=\rho _{R}{\frac {D}{D-v_{2))))

\displaystyle D={\frac {P_{2}-P_{R}}{\rho _{R}v_{2}}}

\displaystyle P_{2}=P_{R}{\frac {(\gamma +1)\rho _{1}-(\gamma -1)\rho _{R}}{(\gamma +1 )\rho _{R}-(\gamma -1)\rho _{1}}}

\displaystyle {\frac {P_{L}}{\rho _{L}^{\gamma }}}={\frac {P_{2}}{\rho _{2}^{\gamma } }}

\displaystyle v_{2}={\frac {2}{\gamma -1}}\left(c_{L}-c_{2}\right)={\frac {2c_{L}}{\ gamma -1))\left(1-\left({\frac {\rho _{2)){\rho _{L))}\oikea)^{\frac {\gamma -1}{2)) \oikea)

Ensimmäiset kolme yhtälöä vastaavat ihanteellisen kaasun Hugoniot-relaatioita [2] , neljäs ja viides - suhteita harvinaisuusaaltoon [3] .

Sovellus

Riemannin ongelman ratkaisu löytyy numeerisissa menetelmissä ei-stationaaristen suurten epäjatkuvuusongelmien ratkaisemiseksi. Epäjatkuvuushajoamisen Riemannin ongelman (tarkka tai likimääräinen) ratkaisuun perustuu Godunovin menetelmä jatkumomekaniikan ei-stationaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi.

Muistiinpanot

↑ Riemann, Bernard. über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Saksa) // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. - 1860. - T. 8 . - S. 43-66 . Arkistoitu alkuperäisestä 24. heinäkuuta 2020.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Iskuaaltojen ja korkean lämpötilan hydrodynaamisten ilmiöiden fysiikka. - Moskova: Nauka , 1966. - S. 51. - 688 s.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Iskuaaltojen ja korkean lämpötilan hydrodynaamisten ilmiöiden fysiikka. - Moskova: Nauka , 1966. - S. 41. - 688 s.