Borweinin integraali

Borweinin integraalit ovat David ja Jonathan Borweinin tarkastelemia integraaleja, jotka sisältävät sinc-funktion [1] [2] .

Näissä integraaleissa näkyy mielenkiintoinen kuvio, joka katoaa lopussa:

{\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\pi /2\\[10pt] &\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx= \pi /2\\[10pt]&\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{ x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx=\pi /2\end{aligned}}

Tämä kuvio jatkuu kunnes

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx=\pi /2~.

Mutta seuraavassa vaiheessa se on rikki [3] :

{\begin{aligned}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x /3))\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15))\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{9356158494406409073105217)5=\{\c\c)5 pi } {aligned}}

Yleensä nämä integraalit ovatπ2, jos luvut 3, 5, 7 ... korvataan positiivisilla luvuilla siten, että niiden käänteislukujen summa on pienempi kuin yksi.

Meidän esimerkissämmeyksi3+yksi5+ … +yksi13<1 , muttayksi3+yksi5+ … +yksiviisitoista> 1.

Esimerkki pidemmästä rivistä:

\int \limits _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x /3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx=\pi /2

mutta

\int \limits _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x /3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<\pi /2 ,

kuten Schmid Hanspeterin artikkelissa [4] näkyy . Tässä tapauksessa se johtuu siitäyksi3+yksi5+ … +yksi111<2 muttayksi3+yksi5+ … +yksi113> 2 .

Jonathan Borwein tiesi, että kuvio oli rikki kahdeksannen elementin kohdalla, ja teki " virheilmoituksen " Maple - ohjelmistopaketin tuella . Kehittäjä Jacques Carettella kesti kolme päivää ymmärtää, että tämä ei ollut bugi [5] [6] .

Muistiinpanot

↑ Borwein, David & Borwein, Jonathan M. (2001), Sincin ja siihen liittyvien integraalien joitakin merkittäviä ominaisuuksia , The Ramanujan Journal , osa 5 (1): 73–89, ISSN 1382-4090 , DOI 10.1023/A:1019341972
↑ Baillie, Robert (2011), Fun With Very Large Numbers, arΧiv : 1105.3943 [math.NT].
↑ Math I Like Arkistoitu 17. toukokuuta 2017 Wayback Machinessa Mielenkiintoinen sarja
↑ Schmid , Hanspeter ( 2014 ) , Kaksi omituista integraalia ja graafinen todiste werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf > Arkistoitu 5. maaliskuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ [https://web.archive.org/web/20161128050647/https://habrahabr.ru/post/146140/ Arkistoitu 28. marraskuuta 2016 Wayback Machinessa https://habrahabr.ru/post/146140/ Arkistoitu kopio päivätty 28. marraskuuta 2016 Wayback Machinessa Habrahabr ] Boring integrals
↑ https://mathoverflow.net/questions/11517 . matematiikan ylivuoto. — Computer Algebra Errors, kommentit Jacques Carette. Haettu 31. maaliskuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 31. maaliskuuta 2019. (määrätön)