Gaussin interpolaatiokaava

Gaussin interpolointikaava on kaava, joka käyttää interpolointipisteinä lähimpänä interpolointipistettä olevia solmuja. Se on rakennettu käyttäen Newtonin interpolaatiokaavaa . $x$

Olkoon tarpeen interpoloida jokin funktio . Jos , Missä on jokin alkupiste, , niin kaava $f$ $x=x_{0}+th$ $x_{0}$ $h>0$

G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t-1) \over 2!}+\lpisteet +f_{1/2}^{2n-1}{\frac {t(t^{2}-1)\lpisteet [t^{2}-(n-1)^{2 }]}{(2n-1)!}}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2} ](tn)\over(2n)!},

solmujen kirjoittamaa kutsutaan Gaussin kaavaksi eteenpäin interpolaatiolle ja kaavaksi $x_{0},~x_{0}+h,~x_{0}-h,\ldots ,~x_{0}+nh, ~x_{0}-nh$

G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{-1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t+1) \ yli 2!}+\lpistettä +f_{-1/2}^{2n-1}{t(t^{2}-1)\lpistettä [t^{2}-(n-1)^{2} ] \over (2n-1)!}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}]( t+n)\over(2n)!},

solmuina kirjoitettua kutsutaan Gaussin kaavaksi taaksepäin interpolaatiolle . $x_{0},~x_{0}-h,~x_{0}+h,\ldots ,~x_{0}-nh, ~x_{0}+nh$

Molemmat kaavat käyttävät äärellisiä eroja , jotka on määritelty seuraavasti:

f_{i}=f(x_{i}),\;f_{i+1/2}^{1}=f_{i+1}-f_{i},\;f_{i}^ {m}=f_{i+1/2}^{m-1}-f_{i-1/2}^{m-1}

Gaussin interpolointikaavan etuna on, että tämä interpolointisolmujen valinta antaa parhaan arvion jäljellä olevasta termistä verrattuna mihin tahansa muuhun vaihtoehtoon, ja solmujen järjestys niiden lähestyessä interpolointipistettä vähentää interpoloinnin laskentavirhettä.

Kirjallisuus

Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Laskennalliset menetelmät. Osa I. - 2. painos, stereotyyppinen - M .: Fizmatgiz . 1962.
Bakhvalov N. S. Numeeriset menetelmät, M., 1973.