Irrationaalinen yhtälö

Irrationaalinen yhtälö on yhtälö , joka sisältää tuntemattoman juuren merkin alla tai korotettuna potenssiin, jota ei voida pelkistää kokonaisluvuksi . Yksinkertaisin esimerkki irrationaalisesta yhtälöstä on yhtälö tai . Joskus juuria voidaan merkitä tuntemattoman rationaalisina voimina, eli ne kirjoittavat sen sijaan . $\surd$ ${\sqrt {x}}=2$ ${\sqrt[{3}]{x}}=-3$ ${\sqrt[{n}]{x}}$ $x^{\frac {1}{n))$

Esimerkkejä ja luokittelu

$3(x+4)=x$ - koska muuttuja ei ole juurimerkin alla - tämä on algebrallinen yhtälö. $x$
$3(y+z)^{2}=x-{\sqrt {\pi ))$ - koska mikään muuttujista , , ei ole juurimerkin alla, vaan on vakioluku - tämä on algebrallinen yhtälö. $z$ $y$ $x$ ${\sqrt {\pi ))$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}={\frac {1}{x}}$ - koska muuttuja ei ole juurimerkin alla, ja - vakioluku on rationaalinen yhtälö. $x$ ${\sqrt 3}$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{-1}$ - Edes yhtälöt, joissa tuntematon on negatiivinen, eivät ole irrationaalisia. Tämä on jälleen rationaalinen yhtälö, joka on identtinen edellä kuvatun kanssa. $x$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{0}$ on algebrallinen yhtälö, koska $x^{0}=1$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{\frac {1}{2}}$ - koska muuttuja nostetaan murto-osaan, jota ei voida pelkistää kokonaisluvuksi - tämä on irrationaalinen yhtälö. $x$

Lyhyesti sanottuna sääntö yhtälöiden osoittamisesta yhteen tai toiseen luokkaan voidaan muotoilla seuraavasti:

jos kaikki yhtälön tuntemattomien potenssit kuuluvat luonnollisten lukujen joukkoon , niin tällaista yhtälöä pidetään algebrallisena. $\mathbb {N}$
jos kaikki yhtälön tuntemattomien potenssit kuuluvat kokonaislukujen joukkoon , niin tällaista yhtälöä kutsutaan rationaaliseksi. $\mathbb {Z}$
jos kaikki yhtälön tuntemattomien potenssit kuuluvat rationaalilukujen joukkoon , niin tällaista yhtälöä kutsutaan irrationaaliseksi. $\mathbb {Q}$

Esimerkkejä monimutkaisemmista irrationaalisista yhtälöistä voidaan käyttää esimerkkeinä:

{\sqrt {x+4}}+{\sqrt {x+9}}=5

7{\sqrt[{3}]{2x^{2}+6}}-3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}=11

x^{2}+{\sqrt {x-1}}=10x+{\sqrt[{11}]{x-2}}+1

Suhde algebrallisiin yhtälöihin

Mikä tahansa irrationaalinen yhtälö alkebraalgebrallisten operaatioiden (kerto-, jako-, yhtälön molempien osien nostaminen kokonaislukupotenssiin) avulla voidaan pelkistää rationaaliseksi algebralliseksi yhtälöksi . Esimerkiksi yhtälö nostamalla toiseen potenssiin voidaan muuntaa muotoon , joka ei ole enää irrationaalinen yhtälö, vaan algebrallinen yhtälö. ${\sqrt {x^{2}+x}}=2$ $x^{2}+x=4$

On pidettävä mielessä, että tuloksena oleva rationaalinen algebrallinen yhtälö ei välttämättä ole ekvivalentti alkuperäisen irrationaalisen yhtälön kanssa, nimittäin se voi sisältää "ylimääräisiä" juuria, jotka eivät ole alkuperäisen irrationaalisen yhtälön juuria. Siksi, kun saadun rationaalisen algebrallisen yhtälön juuret on löydetty, on tarpeen tarkistaa, ovatko kaikki rationaalisen yhtälön juuret irrationaalisen yhtälön juuria.

Ratkaisu lähestyy

Yleisessä tapauksessa on vaikea osoittaa mitään universaalia menetelmää minkä tahansa irrationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi, koska on toivottavaa, että alkuperäisen irrationaalisen yhtälön muunnosten tuloksena ei saada vain jonkinlaista rationaalista algebrallista yhtälöä. joka tulee olemaan tämän irrationaalisen yhtälön juuret, vaan rationaalinen algebrallinen yhtälö, joka on muodostettu mahdollisimman pieniasteisista polynomeista. Halu saada mahdollisimman pienimuotoisista polynomeista muodostettu rationaalinen algebrallinen yhtälö on aivan luonnollinen, koska rationaalisen algebrallisen yhtälön kaikkien juurien löytäminen voi sinänsä olla melko vaikea tehtävä, jonka voimme ratkaista täysin vain hyvin rajoitetussa määrässä. tapauksista.

Eksponentti

Jos irrationaalisen yhtälön molemmat osat nostetaan samaan parittomaan potenssiin ja vapautetaan radikaaleista, saadaan yhtälö, joka on ekvivalentti alkuperäisen yhtälön kanssa.

Kun yhtälö nostetaan parilliseen potenssiin, saadaan yhtälö, joka on seuraus alkuperäisestä. Siksi yhtälön ulkopuolisten ratkaisujen esiintyminen on mahdollista. Syy juurien hankkimiseen on se, että nostamalla parilliseen potenssilukuja, jotka ovat absoluuttisesti samanlaisia, mutta etumerkillisesti erilaisia, saadaan sama tulos.

Huomaa, että juurien menetys nostettaessa yhtälöä tasaiseen potenssiin on mahdotonta, mutta vieraita juuria saattaa ilmaantua. Harkitse esimerkkiä:

Ratkaistaan yhtälö ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8$

Nosta yhtälön molemmat puolet toiseen potenssiin

$({\sqrt {x^{2}+4x-5)))^{2}=(4x-8)^{2}$

koska korotamme tasaiseen potenssiin, ulkopuolisten juurien ilmaantuminen on mahdollista, koska jo korotusprosessin myötä laajennamme radikaalilausekkeiden hyväksyttävien arvojen (ODZ) aluetta.

Joten kun se rinnastettiin tunnettuun positiiviseen numeroon (koska , aritmeettisen juuren määritelmän perusteella), muuttuja ei voinut ottaa arvoja, jotka muutetaan negatiivisiksi luvuiksi, mikä tarkoittaa tai . $4x-8$ ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}\geqslant 0$ $x$ $4x-8$ $4x-8\geqslant 0$ $x\geqslant 2$

Toisin sanoen ongelmalauseen kohdalla meille annettiin myös rajoituksia muuttujan (ODV) arvoille muodossa . Mutta kun molemmat puolet on neliöity, saamme yhtälön $x\geqslant 2$

$x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64$ ,

jo jossa sallittujen arvojen alue ( ODZ ) muutoksella on täysin erilainen (nyt se voi ottaa täysin mitä tahansa arvoa, eli ODZ on laajentunut alkuperäiseen yhtälöön verrattuna). $x$ $x$

Ilmeisesti vieraiden juurien todennäköisyys on kasvanut dramaattisesti yksinkertaisesti sen vuoksi, että nyt monista useammista luvuista voi tulla juuri, eikä vain niistä, jotka . $x\geqslant 2$

Jatkamalla ratkaisemista ja yksinkertaistamista, saamme toisen asteen yhtälön: $x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64$

$15x^{2}-68x+69=0$ , jonka juuret ovat

$x=3$ ja $x={\frac {23}{15}}$

On huomattava, että ja ovat täsmälleen yhtälön juuret , mutta vielä ei tiedetä, ovatko ne alkuperäisen yhtälön juuret. $x=3$ $x={\frac {23}{15}}$ $15x^{2}-68x+69=0$ ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8$

Tiedämme siis, että alkuperäisen yhtälön juuret eivät voi olla pienempiä kuin 2, mutta sillä välin juuri on pienempi kuin kaksi, mikä tarkoittaa, että se ei voi olla alkuperäisen yhtälön juuri. $x={\frac {23}{15}}\noin 1,533333...$

Vastaus: ${\displaystyle x\in \{3\))$

Ehtojärjestelmän korvaaminen

Pääominaisuuksien käyttäminen

Uusien muuttujien käyttöönotto

Apumuuttujan käyttöönotto johtaa joissakin tapauksissa yhtälön yksinkertaistamiseen. Useimmiten uutena muuttujana käytetään yhtälöön sisältyvää juuria (radikaalia). Tässä tapauksessa yhtälöstä tulee rationaalinen suhteessa uuteen muuttujaan.

Esimerkki 1 [1] : Ratkaise yhtälö $2x^{2}+3x+{\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=33,x\in \mathbb {R}$

Tehdään korvaus , on selvää, että niin tehdessämme olemme asettaneet rajoituksia uudelle muuttujalle muodossa , koska aritmeettinen juuri ei voi olla negatiivinen luku. $y={\sqrt {2x^{2}+3x+9}}$ $y\geqslant {0}$

Toiseen potenssiin nostamisen jälkeen pääsemme eroon juuren merkistä ja saamme lausekkeen . Lisäksi alkuperäiseen yhtälöön korvaamisen jälkeen saamme seuraavan yhtälön: $y$ $y^{2}=2x^{2}+3x+9$ $y$

$y^{2}+y-42=0$ ,

jonka juuret ja . Mutta se ei voi olla negatiivinen luku, koska määritimme sen substituutiollamme, joten tarkastelemme vain . Lisäksi ratkaisemalla yhtälön , saamme juuret ja . $y=6$ $y=-7$ $y$ $y$ $y=6$ ${\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=6$ $x=3$ $x=-4,5$

Vastaus: $x\in \{3;-4.5\}$

Esimerkki 2 [2] : Ratkaise yhtälö ${\sqrt[{3}]{x+28}}-{\sqrt[{3}]{x-9}}=1$

Tehdään kaksi substituutiota: ja , kun ne on nostettu kolmanteen potenssiin, saadaan ja . Lisäksi jokaisen uuden yhtälön ratkaiseminen $u={\sqrt[{3}]{x+28))$ $v={\sqrt[{3}]{x-9))$ $u^{3}=x+28$ $v^{3}=x-9$ $x$

$x=u^{3}-28$ ja , ja näiden yhtälöiden tasaamisen jälkeen saamme yhtälön , mutta ottaen huomioon, kuinka otimme käyttöön ja , meillä on myös yhtälö , mikä tarkoittaa, että meillä on yhtälöjärjestelmä: $x=v^{3}+9$ $u^{3}-28=v^{3}+9$ $u$ $v$ $uv=1$

${\begin{cases}uv=1\\u^{3}-v^{3}=37\end{cases))$

Kun järjestelmä on ratkaistu, saamme arvot ja , mikä tarkoittaa, että meidän on ratkaistava vielä kaksi yhtälöä: $v_{1}=3$ $v_{2}=-4$

${\sqrt[{3}]{x-9}}=3$ ja , joiden ratkaisut ja . ${\sqrt[{3}]{x-9}}=-4$ $x=36$ $x=-55$

Vastaus: $x\in \{36;-55\}$

Soveltamisalan käyttö

Alueen käyttö

Identiteettimuunnokset

Käyttämällä derivaatta

majorantin käyttö

Termi " majorante " tulee ranskan sanasta "majorante" , sanasta "majorer" - julistaa suureksi.

Tietyn funktion majorantti tietyllä aikavälillä on luku A siten, että joko kaikelle x annetusta intervallista tai kaikille x annetusta intervallista. Menetelmän pääideana on käyttää seuraavia lauseita irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseen: $f(x)$ $f(x)\leqslant {A}$ $f(x)\geqslant {A}$

Lause numero 1.

Olkoon ja joitain joukossa määriteltyjä funktioita . Rajattukoon se tähän joukkoon luvulla A ylhäältä ja rajattukoon tähän joukkoon samalla luvulla A , mutta alhaalta. $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $g(x)$

Sitten yhtälö vastaa järjestelmää: $f(x)=g(x)$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=A\end{cases))$

Lause numero 2.

Olkoon ja joitain joukossa määriteltyjä funktioita . Olkoon ja rajattu tähän joukkoon alhaalta (ylhäältä) luvuilla A ja B . Sitten yhtälö vastaa yhtälöjärjestelmää: $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)+g(x)=A+B$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=B\end{cases))$

Lause numero 3.

Antaa ja olla joitakin ei-negatiivisia funktioita, jotka on määritelty joukossa . Rajattukoon se ylhäältä (tai alhaalta) numeroilla A ja B . Tällöin yhtälö vastaa yhtälöjärjestelmää (edellyttäen, että ja ): $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $f(x)g(x)=AB$ $A>0$ $B>0$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=B\end{cases))$

Tässä lausunnossa funktioiden ja ei-negatiivisuuden ehto on erityisen tärkeä sekä A:n ja B : n positiivisuuden ehto. $f(x)$ $g(x)$

Esimerkki:

ratkaise yhtälö ${\sqrt {(x-2v+1)^{2}+1}}+{\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25}}=6$

Otetaan käyttöön lyhyempi merkintätapa: ja . $f(x,y)={\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1))$ $g(x,y)={\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25))$

Arvot ovat suurempia tai yhtä suuria kuin 1, koska radikaalilauseke on ilmeinen . Ja vain jos . Samoin arvot eivät ole pienempiä kuin 5. Joten voimme kirjoittaa . Siksi käyttämällä lausetta 2: $f(x,y)$ $(x-2v+1)^{2}+1$ $\geqslant {1}$ $f(x,y)=1$ $(x-2v+1)^{2}=0$ $g(x,y)$ $f(x,y)+g(x,y)=1+5$

${\begin{cases}f(x,y)=1\\g(x,y)=5\end{cases))$ tai ${\begin{cases}{\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1}}=1\\{\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25} }=5\loppu{tapaukset}}$

Neliöimällä molemmat yhtälöt, saamme

${\begin{cases}(x-2y+1)^{2}=0\\(3x-y-2)^{2}=0\end{cases))$ , yksinkertaistaa entisestään ${\begin{cases}x-2y+1=0\\3x-y-2=0\end{cases))$

Ainoa ratkaisu tähän järjestelmään ${\näyttötyyli (1;1)}$

Vastaus: ${\näyttötyyli (1;1)}$

Graafinen lähestymistapa

Joissakin tapauksissa funktion piirtämisen avulla voit arvioida mahdollisia tapoja ratkaista yhtälö, juurten lukumäärää tai niiden likimääräistä arvoa.

Muistiinpanot

↑ Akatkina Elena Mikhailovna. Irrationaalisten yhtälöiden ratkaisumenetelmät . Avoin oppitunti.rf . (määrätön)
↑ Eremenko Elena Vasilievna. Irrationaaliset yhtälöt . Avoin oppitunti.rf . Haettu 24. lokakuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 21. syyskuuta 2020. (määrätön)

Linkit

[ Irrationaaliset yhtälöt. Esimerkkejä ratkaisuista ]