Zariskin tangenttiavaruus

Zariskin tangenttiavaruus on algebrallisen geometrian konstruktio, jonka avulla voit rakentaa tangenttiavaruuden algebrallisen vaihtelun pisteeseen . Tässä konstruktiossa ei käytetä differentiaaligeometrian menetelmiä , vaan ainoastaan yleisen ja tarkemmissa tilanteissa lineaarialgebran menetelmiä .

Motivaatio

Tarkastellaan polynomiyhtälön antamaa tasoalgebrallista käyrää

F(x,y)=0.

Kuvataan tämän käyrän tangenttiavaruus origossa. Poistamme yhtälöstä kaikki ensimmäistä suurempia järjestystermejä, yhtälö säilyy

ax+by=0.

Kaksi tapausta on mahdollista: joko , jolloin tangenttiavaruus määritellään koko affiiniseksi tasoksi (kaikki sen pisteet täyttävät yllä olevan yhtälön), jolloin origo on käyrän singulaaripiste . Muutoin tangenttiavaruus on viiva, jota käsitellään yksiulotteisena affiiniavaruutena. (Tarkemmin sanottuna alkuperäisessä affiinitasossa ei ole origoa. Kuitenkin määritettäessä tangenttiavaruutta pisteessä p , on luonnollista valita origo tässä pisteessä.) $a=b=0$

Määritelmä

Paikallisen renkaan kotangenttiavaruus, jolla on maksimaalinen ideaali m , määritellään seuraavasti $R$

{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}

missä m 2 on ihanteiden tulo . Kotangenttiavaruus on jäännöskentän yläpuolella oleva vektoriavaruus . Sen kanssa duaalista vektoriavaruutta kutsutaan tangenttiavaruudeksi R [1] . $k=R/{\mathfrak {m))$

Tämä määritelmä yleistää yllä olevan esimerkin korkeampiin ulottuvuuksiin. Karkeasti sanottuna on funktiobakteerien rengas pisteessä p . Tämä rengas on paikallinen, ja sen maksimiideaali on funktioiden alkiot, jotka ovat yhtä suuria kuin nolla p :ssä (paikallisen renkaan maksimiideaali koostuu täsmälleen irreversiibelistä elementistä). Koska piste p kuuluu monistoon, olemme kiinnostuneita vain alkioista m , m 2 :n kertoimella vastaa suurten potenssien termien eliminointia. Koska aloitimme funktioiden renkaalla, vastaa "lineaarisia funktionaalisia" tangenttiavaruudessa, eli avaruutta, joka on dual tangentin kanssa. $R$ ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$

Kaavan X tangenttiavaruus ja kotangenttiavaruus pisteessä P on paikallisrenkaan (ko)tangenttiavaruus . Specin funktionaalisuudesta johtuen luonnollinen tekijäkartta indusoi homomorfismin , jossa X =Spec( R ), P on Y = Spec( R/I ) piste. Tätä homomorfismia käytetään usein upottamiseen [ 2] :een (esimerkiksi affiiniseen avaruuteen upotetun jakoputken tangenttiavaruus on luonnollisesti upotettu affiiniavaruuden tangenttiavaruuteen). Koska kenttämorfismit ovat injektiivisiä , g :n indusoima jäännöskenttien surjektio on isomorfismi . Siten g indusoi k tangenttiavaruuden morfismin, koska $T_{P}(X)$ $T_{P}^{*}(X)$ ${\mathcal {O}}_{X,P}$ $f:R\rightarrow R/I$ $g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}$ $T_{P}(Y)$ $T_{f^{-1}P}(X)$

{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2} +I)/I)

\cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm { Ker}(k).

Koska k on surjektiivinen (on faktorointihomomorfismi), kaksoislineaarinen kartoitus on injektiivinen (on upotus). $k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)$

Analyyttinen tapaus

Jos V on ideaalin I määrittelemän n - ulotteisen vektoriavaruuden alijoukko (tämän moniston funktioiden ideaali nolla), rengas R vastaa rengasta F n / I , jossa F n on alkioiden rengas vektoriavaruuden sileistä/analyyttisista/holomorfisista funktioista olen funktioiden alkioita ihanteesta. Sitten Zariskin tangenttiavaruus pisteessä x on

{\mathfrak {m}}_{x}/(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}),

missä on vastaavan tyyppisten funktioiden ideaali, joka on yhtä suuri kuin nolla pisteessä x . ${\mathfrak {m}}_{x}$

Algebrallisen käyrän esimerkissä , ja $I=(f)$ $(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2})=(ax+by+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}).$

Ominaisuudet

Jos R on Noetherin paikallinen rengas, niin tangenttiavaruuden ulottuvuus ei ole pienempi kuin R :n mitta :

\mathrm {dim} \;{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\geqslant \mathrm {dim} \;R.

R :tä kutsutaan säännölliseksi renkaaksi , jos yhtälö pätee. Jos lajikkeen V paikallinen rengas on säännöllinen pisteessä x , niin x :n sanotaan olevan lajikkeen säännöllinen piste. Muussa tapauksessa x : ää kutsutaan singulaaripisteeksi .

Tangenttiavaruudesta on olemassa tulkinta homomorfismien avulla kaksoislukujen renkaaseen Kaavioiden kielessä morfismit Spec k[t]/t 2 :sta skeemaan X k :n yläpuolella vastaavat rationaalisen pisteen x ∈ X valintaa. (k) (pisteet, joiden koordinaatit kentästä k ) ja elementin tangenttiavaruus pisteessä x [3] . Siksi on järkevää kutsua näitä morfismeja tangenttivektoreiksi . $k[t]/(t^{2}).$

Muistiinpanot

↑ Eisenbud, 1998 , I.2.2, s. 26.
↑ Smoothness and the Zariski Tangent Space , James McKernan, 18.726 Kevät 2011 Arkistoitu 19. helmikuuta 2018 Wayback Machine Lecture 5 :ssä
↑ Hartshorne, 1977 , Harjoitus II 2.8.

Kirjallisuus

Hartshorne R. Algebrallinen geometria. - M.: Mir, 1981.
David Eisenbud; Joe Harris (1998). Kaavioiden geometria. Springer-Verlag. — ISBN 0-387-98637-5 .
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157

Linkit

Zariski tangenttiavaruus . VI Danilov , Matematiikan tietosanakirja.