Kovarianttivektori

Lineaarisessa algebrassa kovarianttivektori vektoriavaruudessa on sama kuin lineaarinen muoto (lineaarinen funktionaalinen) kyseisessä avaruudessa.

Differentiaaligeometriassa kovarianttivektori differentioituvassa jakoputkessa on tasainen osa kotangenttikimppua . Vastaavasti monisarjan M kovarianttivektori on tangenttikipun M kokonaisavaruuden tasainen kartoitus R : ksi , jonka rajoitus jokaiseen kerrokseen on tangenttiavaruuden lineaarinen funktionaali. Se kirjoitetaan näin:

\alpha :TM\rightarrow {{\mathbf R}},\quad \alpha _{x}=\alpha |_{{T_{x}M}}:T_{x}M\rightarrow {{\mathbf R} }

missä α x on lineaarinen.

Yhteis- ja kontravarianttivektorit avaruudessa (jakoputkissa) ei-degeneroituneella metriikalla

Lisäksi oletetaan, että avaruudessa, jossa kuvatut objektit ovat (tai monistossa, jonka tangenttiavaruudessa ne ovat), annetaan ei-degeneroitunut metriikka.

Vektorien ja kovektorien välinen vastaavuus

Jos määritetään ei-degeneroitunut metristensori , niin muodollisesti "kovarianttivektoria" ja "kontravarianttivektoria" voidaan pitää yksinkertaisesti saman geometrisen kohteen - tavallisen vektorin - eri esityksinä (lukujoukon muodossa olevia tietueita) . Toisin sanoen sama vektori voidaan kirjoittaa kovariantiksi (eli kovarianttien koordinaattien joukon kautta) tai kontravariantiksi (eli kontravarianttien koordinaattien joukon kautta). Muunnos esityksestä toiseen tapahtuu yksinkertaisesti konvoluutiolla metrisen tensorin avulla :

\ v_{i}=g_{{ij}}v^{j}

\ v^{i}=g^{{ij}}v_{j}

(tässä ja alla tarkoitamme summaamista toistuvan indeksin yli Einsteinin säännön mukaan).

Ero vektorien ja kovektorien välillä

Merkityksellisesti vektorit ja kovektorit erotetaan toisistaan sen mukaan, mikä esityksistä on niille luonnollinen. Joten kovektoreille - esimerkiksi gradientille - laajeneminen kaksoiskantalla on luonnollista, koska niiden luonnollinen konvoluutio (skalaaritulo) tavallisella vektorilla (esimerkiksi siirtymä) suoritetaan ilman metriikan osallistumista, yksinkertaisesti kerrottujen komponenttien summa. Tavallisille vektoreille (joihin kuuluu myös tilakoordinaattien siirtymä ) pääkannan laajeneminen on luonnollista, koska ne konvoloituvat muiden tavallisten vektoreiden, kuten tilakoordinaattien siirtymävektorin kanssa metriikan mukana. Esimerkiksi skalaari saadaan ( kokonaisdifferentiaalina ) kovarianttivektorin , joka on luonnollinen esitys skalaarikenttään vaikuttavasta gradientin 1-muodosta , metristä vapaalla supistuksella kontravariantilla vektorilla , joka on luonnollinen esitys. tavallisen siirtymävektorin koordinaatit; samalla se romahtaa itsensä kanssa käyttämällä metriikkaa: , joka on täysin sopusoinnussa sen tosiasian kanssa, että se on ristiriitainen. $dx^{i}$ $\ d\varphi =(\partial _{i}\varphi )\,dx^{i}$ $\ \partial _{i}\varphi$ $\dx^{i}$ $\dx^{i}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}\,dx^{i}\,dx^{j}$

Jos puhumme tavallisesta fysikaalisesta avaruudesta, yksinkertainen merkki vektorin kovarianssista/kontravarianssista on se, kuinka sen luonnollinen esitys konvoloidaan tilasiirtymäkoordinaattien joukolla , joka on esimerkki kontravariantista vektorista. Ne, jotka konvoloivat yksinkertaisella summauksella ilman metriikkaa, ovat kovarianttivektoreita (1-muotoja); muuten (konvoluutio vaatii metriikan osallistumista) nämä ovat ristiriitaisia vektoreita. Jos avaruus ja koordinaatit ovat täysin abstrakteja, eikä pää- ja kaksoiskantaa voi erottaa millään muulla tavalla kuin mielivaltaisella ehdollisella valinnalla, niin merkityksellinen ero kovarianttien ja kontravarianttien vektorien välillä katoaa tai muuttuu myös puhtaasti ehdolliseksi. $\dx^{i}$ $\dx^{i}$

Kysymys siitä, onko tarkalleen se esitys, jossa näemme kohteen, on luonnollista sille, käsitellään hieman korkeammalta. Luonnollinen tavalliselle vektorille on kontravarianttiesitys, kovektorille se on kovariantti.

Katso myös

Differentiaalinen muoto

Katso myös

Kirjallisuus

Landau L.D. , Lifshits E.M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .