Kompakti operaattori

Kompakti operaattori on funktionaalisen analyysin käsite. Kompakteja operaattoreita syntyy luonnollisesti integraaliyhtälöiden tutkimuksessa, ja niiden ominaisuudet ovat samanlaiset kuin äärellisulotteisten avaruuksien operaattoreilla. Kompaktioperaattoreita kutsutaan usein myös täysin jatkuviksi .

Määritelmä

Olkoon Banach- välilyöntejä . Lineaarisen operaattorin sanotaan olevan kompakti , jos se kuvaa minkä tahansa rajatun osajoukon esitiivistetyksi osajoukoksi . $X,Y$ $T:X\to Y$ $X$ $Y$

Vastaava määritelmä käyttää heikon topologian käsitettä : lineaarioperaattorin sanotaan olevan kompakti, jos sen rajoitus yksikköpalloon in on jatkuva kartta heikon topologian in ja normitopologian in suhteen . On selvää, että tiiviyden ominaisuus on vahvempi kuin rajallisuus. $T:X\to Y$ $X$ $X$ $Y$

Kompaktien operaattoreiden joukko on merkitty . Se on osajoukko rajattujen operaattoreiden avaruudessa, jotka toimivat välillä - . $T:X\to Y$ ${\mathcal {K}}(X,Y)$ ${\mathcal {L}}(X,Y)$ $X$ $Y$

Yksinkertaisimmat ominaisuudet

Jokainen täysin jatkuva operaattori on rajoitettu, mutta jokainen rajoitettu operaattori ei ole täysin jatkuva [1] .
Lineaarinen yhdistelmä muodon täysin jatkuvista operaattoreista , joissa on lukuja, on myös täysin jatkuva operaattori [2] . $A, B$ $\alpha A+\beta B$ $\alpha ,\beta$
Olkoon täysin jatkuva operaattori, joka kuvaa äärettömän -ulotteisen Banach-avaruuden itseensä, ja olkoon mielivaltainen, samaan avaruuteen määritelty lineaarisesti rajattu operaattori. Sitten ja ovat täysin jatkuvia operaattoreita [2] . $A$ $B$ $AB$ $BA$
Jos täysin jatkuvien operaattorien sekvenssi, joka kuvaa avaruuden täydelliseksi avaruuteen, konvergoi tasaisesti operaattoriin (eli ), se on myös täysin jatkuva operaattori. [2] [3] $\left\{A_{n}\right\}$ ${\näyttötyyli E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$ $A$ $\left\|A-A_{n}\right\|\to 0$ $A$
Jos operaattori on kompakti, niin sen adjointti on myös kompakti.

Esimerkkejä

Merkittävimmät esimerkit kompakteista operaattoreista on integraaliyhtälöiden teoria:

Otetaan mielivaltainen funktio . Tällöin integraalioperaattori, joka määritellään seuraavasti : $g\in L_{2}([0,1]\times [0,1])$ $T:L_{2}(0,1)\to L_{2}(0,1)$

(Tf)(t)=\int \limits _{0}^{1}g(s,t)f(s)\,ds

Olkoon funktiolla g on epäjatkuvuuspisteitä vain äärellisessä määrässä käyriä. Tällöin operaattori , joka on määritelty täsmälleen samalla tavalla kuin operaattori edellisessä esimerkissä, on jo kompakti jatkuvien funktioiden avaruudessa. $[0,1]\times [0,1]$ $T:C(0,1)\to C(0,1)$

Jonoa vastaava ja säännön mukaan toimiva diagonaalioperaattori on rajoitettu silloin ja vain, jos sekvenssi on rajoitettu, ja tiiviys vastaa sekvenssin konvergenssia nollaan. ${\displaystyle T_{\lambda }:l_{2}\to l_{2))$ $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )$ $x=(x_{1},x_{2},\dots )\to (\lambda _{1}x_{1},\lambda _{2}x_{2},\dots )$ $\lambda$ $\lambda$

Käännettävä operaattori on kompakti, jos ja vain jos ne ovat äärellisulotteisia. $A:X\to Y$ $X,Y$

Äärillisulotteiset operaattorit

Ilmeisesti mikä tahansa lineaarisesti rajoitettu operaattori, jolla on äärellisulotteinen kuva, on kompakti (tällaisia operaattoreita kutsutaan äärellisulotteisiksi ). Kompaktioperaattorille , jossa on Hilbert-avaruus, on aina olemassa äärellisulotteisten operaattoreiden sarja, joka konvergoi normiin. Tämä ei kuitenkaan pidä paikkaansa mielivaltaisen tilan kohdalla . Banach - avaruudella sanotaan olevan approksimaatioominaisuus , jos minkä tahansa Banach-avaruuden osalta mikä tahansa kompakti operaattori voidaan approksimoida äärellisulotteisilla operaattoreilla. On erotettavia Banach-tiloja, joilla ei ole approksimaatio-ominaisuutta. $T:X\to Y$ $Y$ $T$ $Y$ $Y$ $X$ $T:X\to Y$

Kompaktioperaattoreiden tilan ominaisuudet

Kompaktien operaattoreiden perusominaisuuksista seuraa välittömästi, että se on aliavaruus . Voidaan kuitenkin osoittaa, että tämä aliavaruus on suljettu. Siinä tapauksessa, kun , operaattoreiden avaruus saa algebran rakenteen (kertominen annetaan operaattoreiden koostumuksella). Sitten on suljettu kaksipuolinen ihanne . ${\mathcal {K}}(X,Y)$ ${\mathcal {L}}(X,Y)$ $X=Y$ ${\mathcal {K}}(X,X)$ ${\mathcal {L}}(X)$

Avaruuden approksimaatioominaisuus voidaan muotoilla seuraavasti: mille tahansa Banach-avaruudelle avaruus on äärellisulotteisten operaattoreiden avaruuden sulkeminen välillä - . $Y$ $X$ ${\mathcal {K}}(X,Y)$ $X$ $Y$

Kompaktien operaattoreiden spektriominaisuudet

Olkoon kompakti operaattori. Tällöin operaattori on Noether-operaattori indeksillä 0 (Fredholm). Erityisesti meillä on Fredholmin vaihtoehto : se on surjektiivinen silloin ja vain jos se on injektiivinen (vaihtoehto on, että joko ydin ei ole tyhjä tai kuva osuu koko tilaan). Tämän seurauksena saamme välittömästi, että kompaktin operaattorin koko nollasta poikkeava spektri on diskreetti (jäännös- ja jatkuva spektri voivat sisältää vain nollan). Nolla kuuluu aina operaattorin spektriin äärettömän ulottuvuuden tapauksessa (muuten käännettävä operaattori olisi kompakti) eikä välttämättä ole operaattorin ominaisarvo . $T:X\to X$ $K=IT$ $K$ $T$ $T$

Siinä tapauksessa, että operaattori on itseadjungoitu (tässä Hilbert), meillä on lisäksi Hilbert - Schmidtin lause : on olemassa äärellinen tai laskettava ortonormaali vektorijärjestelmä ja nollasta poikkeavien reaalilukujen sarja (saman kardinaalisuuden kuin vektorijärjestelmä) siten, että operaattori toimii säännön mukaisesti . Tämä lause on luonnollinen yleistys samanlaisesta lauseesta itseadjoint-operaattoreille äärellisulotteisessa avaruudessa. Siten kompaktien operaattoreiden luokka on spektriominaisuuksien kannalta samanlainen kuin äärellisulotteisen avaruuden operaattorit. $T$ $X$ $e_{1},e_{2},\dots$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots$ $T$ ${\displaystyle T(x)=\sum \limits _{n}\lambda _{n}(x,e_{n})e_{n))$

Kompaktioperaattorien luokat

Olkoon kompakti operaattori ja Hilbert-tilat. Sitten on pari äärellistä tai laskettavaa ortonormaalia sarjaa, joilla on sama kardinaliteetti sisään ja sisään, ja ei-kasvava positiivisten reaalilukujen sarja (saman kardinaalin) , joka konvergoi nollaan, jos se on ääretön, niin että operaattori toimii säännön mukaisesti . Tämä tosiasia tunnetaan nimellä Schmidt - lause (se on hyvin samankaltainen muotoilultaan kuin Hilbert-Schmidt-lause, ja itse asiassa Schmidtin lause, jossa on pieniä muutoksia itseadjoint-operaattorille, toimii todisteena Hilbert-Schmidtin lauseelle lause). On helppo osoittaa, että numerot , joita kutsutaan Schmidt-luvuiksi, ovat operaattorin yksilöimiä. $T:X\to Y$ $X,Y$ $e_{1},e_{2},\dots$ $X$ $f_{1},f_{2},\dots$ $Y$ $s_{1},s_{2},\dots$ $T$ ${\displaystyle T(x)=\sum \limits _{n}s_{n}(x,e_{n})f_{n))$ $s_{1},s_{2},\dots$

Jos konvergoi operaattorille , niin operaattoria kutsutaan Hilbert - Schmidt - operaattoriksi . Normin ottaa käyttöön relaatio ja sen muodostaa skalaaritulo. Jos konvergoi , niin operaattoria kutsutaan ydinoperaattoriksi tai operaattoriksi, jolla on jälki . Ydinoperaattoreiden alueella normin ottaa käyttöön relaatio . $T$ ${\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n}^{2))$ ${\displaystyle \|T\|={\sqrt {\sum \limits _{n}^{\ }s_{n}^{2))))$ ${\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n))$ $\|T\|=\sum \limits _{n}s_{n}$

Muistiinpanot

↑ Krasnov, 1975 , s. 178.
↑ 1 2 3 Krasnov, 1975 , s. 179.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, Nauka, 1965

Kirjallisuus

A. Ya. Helemsky. Luentoja toiminnallisesta analyysistä. - MTSNMO, 2014. - 552 s. - 2000 kappaletta. — ISBN 5-94057-065-8 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Funktioteorian elementit ja funktionaalinen analyysi. - toim. neljäs, tarkistettu. - M .: Nauka , 1976 . — 544 s. - 35 000 kappaletta.
Krasnov M. L. Integraaliyhtälöt. - M .: Nauka, 1975. - 304 s.