Toiminnon kokoonpano

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. maaliskuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Funktioiden koostumus ( superpositio ) on yhden funktion soveltamista toisen tulokseen.

Funktiokokoonpano ja on yleensä merkitty [1] [2] , mikä tarkoittaa funktion soveltamista funktion tulokseen eli . $F$ $G$ $G\circ F$ $G$ $F$ $(G\circ F)(x)=G(F(x))$

Määritelmä

Olkoon kaksi funktiota annettu ja missä on joukon kuva Sitten niiden koostumus on yhtälön [3] määrittelemä funktio : $F\colon X\to Y$ ${\textstyle G\colon F[X]\to Z,}$ $F[X]\subseteq Y$ $x.$ $G\circ F\colon X\to Z$

(G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Termiä " kompleksifunktio " voidaan soveltaa kahden funktion koostumukseen, joista jokaisella on yksi argumentti [4] . Sitä voidaan käyttää myös tilanteessa, jossa yhdestä tai useammasta alkumuuttujasta syötetään useita funktioita usean muuttujan funktion sisäänmenoon kerralla [5] . Esimerkiksi usean muuttujan kompleksista funktiota voidaan kutsua muodon funktioksi $G$ $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$

koska se on funktio , jonka syöte on funktioiden ja .

F

u

v

Koostumuksen ominaisuudet [3]

Koostumus on assosiatiivinen : $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).$
Jos identiteettikartoitus on päällä , eli $F={\mathrm {id}}_{X}$ $X$ $F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X,$

sitten

G\circ F=G.

Jos identiteettikartoitus on päällä , eli $G={\mathrm {id}}_{Y}$ $Y$ $G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\all y\in Y,$

sitten

G\circ F=F.

Kuvausten koostumus , , ei ole yleisesti ottaen kommutatiivista eli esimerkiksi annettuja funktioita , niin kuitenkin , $F\colon X\to X$ $G\colon X\to X$ $F\circ G\not =G\circ F.$ $F\colon x\mapsto x^{2},~G\colon x\mapsto 2x$ $G\circ F\colon x\mapsto 2x^{2},$ $F\circ G\colon x\mapsto 4x^{2}.$

Lisäominaisuudet

Olkoon funktiolla raja pisteessä ja funktiolla raja pisteessä . Sitten, jos on olemassa pisteen pisteytetty ympäristö , jonka leikkaus joukon kanssa on funktion avulla kartoitettu pisteen pisteytettyyn ympäristöön , pisteessä on kokoonpanoraja ja seuraava yhtäläisyys pätee: $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $a$ $\lim_{x \to a}f(x) = b$ $g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$ $b$ $\lim _{y\to b}g(y)$ $a$ $X$ $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $b$ $a$ $g\circ f\colon X\to Z$ $\lim_{x \to a}g(f(x)) = \lim_{y \to b}g(y).$
Jos funktiolla on raja pisteessä ja funktio on jatkuva pisteessä , niin pisteen funktioiden koostumukselle on raja ja seuraava yhtäläisyys pätee: $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $a$ $\lim_{x \to a}f(x) = b$ $g\colon f(X)\subseteq Y\to Z$ $b$ $a$ $g\circ f\colon X\to Z$ $\lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b).$
Jatkuvien funktioiden koostumus on jatkuva. Olkoon topologisia avaruuksia . Olkoon ja kaksi funktiota, , ja missä on joukko funktioita, joiden ensimmäinen derivaatta on olemassa tietyssä pisteessä. Sitten . $(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$ $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f\in C(x_{0})$ $g\in C(y_{0}),$ $C$ $g\circ f\in C(x_{0})$

Differentioituvien funktioiden koostumus on differentioituva. Anna , , ja . Sitten ja $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$ $g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$

(g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})

Muistiinpanot

↑ Nimitys . Haettu 10. toukokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 24. helmikuuta 2021. (määrätön)
↑ Funktioiden kokoonpano . www.mathsisfun.com . Haettu 10. toukokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 31. joulukuuta 2020. (määrätön)
↑ 1 2 Kostrikin, 2004 , s. 37-38.
↑ Monimutkaisen funktion derivaatta . www.math24.ru _ Haettu 10. toukokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 10. toukokuuta 2021. (määrätön)
↑ useiden muuttujien funktiot . Haettu 10. toukokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 10. toukokuuta 2021. (määrätön)

Kirjallisuus

Kostrikin A.I. Johdatus algebraan. Osa 1. Algebran perusteet. - 3. painos - M . : FIZMATLIT, 2004. - 272 s. - ISBN 5-9221-0487-X.