Rajallinen joukko

Äärillistä joukkoa - joukkoa , joka vastaa luonnollisen sarjan segmenttiä, samoin kuin tyhjää joukkoa, kutsutaan äärelliseksi . Muuten joukkoa kutsutaan äärettömäksi . Esimerkiksi,

{\näyttötyyli \{2,4,6,8,10\}}

viiden elementin äärellinen joukko. Äärillisen joukon alkioiden lukumäärä on luonnollinen luku , ja sitä kutsutaan joukon kardinaalisuudeksi . Luonnollisten lukujen joukko on ääretön:

\{1,2,3,\ldots\}.

Äärillisillä joukoilla on erityinen rooli kombinatoriikassa , joka tutkii diskreettejä objekteja. Äärillisen joukon päättelyssä käytetään Dirichlet'n periaatetta , jonka mukaan suuresta äärellisjoukosta ei voi injektoida pienempään.

Muodollinen määritelmä

Kaksi joukkoa ja sanotaan olevan ekvivalentteja , jos joukosta toiseen on bijektiivinen kartoitus . Jos joukot X ja Y ovat ekvivalentteja, niin tämä tosiasia kirjoitetaan tai ja joukoilla sanotaan olevan sama kardinaliteetti. $X$ $Y$ $X\sim Y$ $|X|=|Y|$

Joukkoa kutsutaan äärelliseksi , jos se vastaa jonkin ei-negatiivisen kokonaisluvun joukkoa . Tässä tapauksessa numeroa kutsutaan joukon elementtien lukumääräksi , joka kirjoitetaan muodossa . [yksi] $X$ $\{1,2,\dots ,n\}$ $\n$ $\n$ $X$ $|X|=n$

Erityisesti tyhjä joukko on äärellinen joukko, jonka alkioiden lukumäärä on 0, eli . $|\varnothing |=0$

On olemassa muitakin määritelmiä äärelliselle joukolle:

joukko on äärellinen, jos se on induktiivinen ;
joukko on äärellinen, jos kaikkien sen osajoukkojen joukko on ei- refleksiivinen [2] ;
joukko on äärellinen, jos se ei ole refleksiivinen;
joukko on äärellinen, jos se ei ole kahden disjunktin joukon liitto, joista kukin vastaa tiettyä joukkoa [2] .

Joukkojen äärellisyyden määritysongelma on yleensä ratkaisematon ( Trakhtenbrotin lause ). Ei ole olemassa heikointa tai vahvinta määritelmää äärelliselle joukolle. Jokaiselle loogiselle kaavalle, joka on äärellisen joukon määritelmä, on vahvempi ja heikompi kaava. Loogisia kaavoja, jotka määrittelevät äärelliset joukot, on rajoittamaton määrä, ja niiden joukossa on rajoittamaton määrä itsenäisiä määritelmiä.

Ominaisuudet

Säännöllinen joukko ei vastaa mitään omaa osajoukkoaan ; [yksi]
Jos äärelliset joukot ovat pareittain disjunkteja (eli ), niin $X_{1},\dots ,X_{n}$ $X_{i}\cap X_{j}=\varnothing$ $|X_{1}\cup X_{2}\cup \dots \cup X_{n}|=|X_{1}|+|X_{2}|+\dots +|X_{n}|$ ;
Jos ovat äärellisiä joukkoja, niin $X_{1},\dots ,X_{n}$ $|X_{1}\times X_{2}\times \dots \times X_{n}|=|X_{1}|\times |X_{2}|\times \dots \times |X_{n }|$ ;
Jos on äärellinen joukko, niin sen Boolen luvun kardinaalisuus on $X$ $\ |2^{X}|=2^{|X|}.$

Katso myös

Loputon setti

Muistiinpanot

↑ 1 2 Soboleva T. S., Chechkin A. V. Discrete Mathematics . - Akatemia, 2006. - ISBN 5-7695-2823-0 .
↑ 1 2 Frenkel, 1966 , s. 87.

Kirjallisuus

Frenkel A. A. , Bar-Hillel R. Joukkoteorian perusteet. - M .: Mir, 1966. - 555 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Suuri katalaani Britannica (verkossa)