Koordinaattiavaruus

Kaikki fysikaaliset ilmiöt voidaan kuvata eri tiloissa: koordinaatit, liikemäärä , vaihe jne. Kuvaukset ovat matemaattisesti vastaavia, mutta eroavat kuvauksen monimutkaisuudesta ja intuitiivisuudesta. Useimmissa tapauksissa koordinaattiavaruus on intuitiivinen ja helpoimmin ymmärrettävä siinä tapahtuva prosessi, mutta puolijohdefysiikassa yleensä on kätevämpää käyttää impulssikuvausta.

Määritelmä

Kutsutaan [1] -ulotteista vektoria kentän lukujen joukkoksi, nämä luvut ovat vektorin koordinaatteja, tarkkuuden vuoksi sanomme, että annettu vektori on sädevektori , vaikka se ei ole välttämätöntä. $n$ $n$ $P,$ ${\vec {r}}={\vec {r}}(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}).$ ${\vec {r))$

Joukko -ulotteisia vektoreita, joille on määritelty toiminnot: $n$

${\vec {a}}={\vec {b}}\;\leftrightarrow \;\left\{{\begin{matrix}a_{1}=b_{1}\\a_{2}=b_{2 }\\\lpisteet \\a_{n}=b_{n}\end{matrix}}\oikea.$
${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1},\;a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n })$
$\lambda \cdot {\vec {a}}=(\lambda \cdot a_{1},\;\lambda \cdot a_{2},\ldots ,\lambda \cdot a_{n})$

kutsutaan -ulotteinen aritmeettinen avaruus tai -ulotteinen koordinaattiavaruus . $n$ $n$ $P^{n}$

Ominaisuudet

Päästää $\exists {\vec {0}}=(0,0,\ldots ,0),{\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\ lambda \in \mathbb{R} ,\mu \in \mathbb{R}$

Assosiatiivisuus :

({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}} )

Kommutatiivisuus :

{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}

Yhtälön ratkaisun ainutlaatuisuus :

\forall {\vec {a)),{\vec {b}}\;\exists !\;{\vec {x}}\in P^{n}\;:\;{\vec {a}} +{\vec {x}}={\vec {b}}

Neutraalin elementin olemassaolo :

\forall {\vec {a}}\;:\;{\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}

Vastakkaisen vektorin olemassaolo:

\forall {\vec {a}}\;\olemassa {\vec {b}}(b_{1}=-a_{1},\;b_{2}=-a_{2},\ldots ,b_{ n}=-a_{n})\;:\;{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {0}}

Skalaarikertoimen assosiatiivisuus :

\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R} \;:\;\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {a)))=(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {a}}

Kertolaskujen jakautuminen skalaarien summauksen suhteen:

(\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=\lambda \cdot {\vec {a}}+\mu \cdot {\vec {a}}

Kertolaskujakauma suhteessa vektorin yhteenlaskemiseen:

\lambda ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}

Kantavektorien olemassaolo:

Päästää

\left\{{\begin{matrix}{\vec {v_{1}}}={\vec {v_{1}}}(1,0,\ldots ,0)\\{\vec {v_{2 }}}={\vec {v_{2}}}(0,1,\ldots ,0)\\\vdots \\{\vec {v_{n}}}={\vec {v_{n}} }(0,0,\ldots ,1)\end{matriisi}}\oikea.

Sitten

Nämä vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia
Mikä tahansa vektori voidaan esittää muodossa ${\vec {v}}={\vec {v}}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})$ ${\vec {v}}=v_{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+v_{2}\cdot {\vec {v_{2}}}+\ldots +v_{n}\ cdot {\vec {v_{n))}$

Operaattorit koordinaattiavaruudessa

Kaikki operaattorit voidaan yleistää -dimensionaaliseen tapaukseen, mutta yksinkertaisuuden vuoksi tässä osiossa tarkastellaan vain kolmiulotteisia tapauksia. $n$

laplalainen :

\Delta ={\osittainen ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}

Nabla :

\nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec { k}}

Laplace-vektorioperaattori [2] :

{\vec {\Delta }}{\vec {A}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})

Momentum-operaattori :

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla

Katso myös

Muistiinpanot