Singan lemma

Singin lemma on keskeinen toteamus suljetun geodesiikan stabiiliudesta positiivisen poikkileikkauksen kaarevuuden omaavissa Riemannin jakoputkissa.

Lemma on suora seuraus yhden parametrin käyräperheen pituuksien toisen muunnelman kaavasta. John Sing käytti häntä . [yksi]

Sanamuoto

Antaa olla geodeettinen vuonna Riemannin monimuotoinen positiivinen poikkileikkauksen kaarevuus ja rinnakkainen kenttä tangentti vektoreita . Sitten suunnan vaihtelu lyhentää sen pituutta. $\gamma \colon [0;1]\ M$ $M$ $V$ $\gamma$ $\gamma$ $V$

Tarkemmin sanottuna, jos

\gamma _{\tau }(t)=\exp _{{\gamma (t)))(\tau \cdot V(t))

ja tarkoittaa käyrän pituutta silloin ja . $L(\tau )$ $\gamma _{\tau }$ $L'(0) = 0$ $L''(0)<0$

Seuraukset

Jos suljettu geodeettinen, joka sallii yhdensuuntaisen vektorikentän, ei ole stabiili, eli sen pituutta voidaan lyhentää mielivaltaisen pienellä muodonmuutoksella. Erityisesti,
- Positiivisen poikkileikkauksen kaarevuuden omaavat tasaulotteiset orientoidut Riemanni-jakoputket yhdistetään yksinkertaisesti .
- Parittomat Riemannin jakoputket, joiden poikkileikkauskaarevuus on positiivinen, on suunnattu .
Singin lemmaa käytti myös Theodor Frankel [2] todistaakseen, että jos ja ovat suljetut geodeettiset osajaostot Riemannin monistossa, jolla on positiivinen poikkileikkauskaarevuus ja sitten ja leikkaavat. $V$ $W$ $M$ $\dim V+\dim W\geq \dim M$ $V$ $W$

Muistiinpanot

↑ Synge, John Lighton (1936), Positiivisten kaarevuusavaruuksien liitettävyydestä , Quarterly Journal of Mathematics (Oxford-sarja) , osa 7: 316–320 , DOI 10.1093/qmath/os-7.1.316
↑ Frankel, Theodore. Jakoputket positiivisella kaarevalla (englanniksi) // Pacific J. Math .. - 1961. - Voi. 11 . — s. 165–174 .