Polyhedronin kärkilinkki tai kärkikuvio on yhtä mittaa pienempi monitahoinen, joka saadaan alkuperäisen monitahoisen osuudesta yhden kärjen irti leikkaavalla tasolla. Erityisesti kärkilinkki sisältää tietoa yhden kärjen ympärillä olevien monitahojen pintojen järjestyksestä.
Jos otat jonkin monitahoisen kärjen, merkitse piste jonnekin jokaiseen viereiseen reunaan, piirrä pinnoille segmentit yhdistäen saadut pisteet, jolloin saat täydellisen syklin (polygonin) kärjen ympärille. Tämä monikulmio on kärkilinkki.
Muodollinen määritelmä voi vaihdella hyvin paljon olosuhteista riippuen. Esimerkiksi Coxeter (1948, 1954) muutti määritelmänsä sopimaan nykyiseen keskusteluun. Useimmat alla annetuista linkin määritelmistä sopivat yhtä hyvin sekä tasopinnan äärettömiin laatoituksiin että monitahoisten tilalaatoituksiin .
Jos leikkaat monitahoisen kärjen leikkaamalla kukin kärjen vieressä oleva reuna, leikkauspinta on linkki. Tämä on ehkä yleisin ja ymmärrettävin lähestymistapa. Eri kirjoittajat tekevät leikkauksen eri paikoissa. Wenninger [1] [2] leikkaa jokaisen reunan yksikköetäisyydellä kärjestä, kuten Coxeter (1948). Yhdenmukaista monitahoa varten Dorman Luken rakenne leikkaa jokaisen viereisen reunan keskellä. Muut kirjoittajat tekevät leikkauksen kunkin reunan toisella puolella olevan kärjen läpi [3] [4] .
Cromwell [5] tekee pallomaisen leikkauksen, jonka keskipiste on kärjessä. Leikkauspinta tai linkki on siten pallomainen monikulmio kyseisellä pallolla.
Monet kombinatoriset ja laskennalliset lähestymistavat (esim. Skilling [6] ) pitävät linkkiä kaikkien vierekkäisten (reunaan yhdistettyjen) pisteiden joukona tietylle kärkipisteelle.
Abstraktien polyhedrien teoriassa tietyn kärjen V linkki koostuu kaikista kärkeen osuvista elementeistä - kärjet, reunat, pinnat ja niin edelleen.
Tämä elementtijoukko tunnetaan huipputähtenä .
N -polytoopin kärjen linkki on ( n − 1)-polytooppi. Esimerkiksi 3-polytoopin kärkilinkki on polygoni ja 4-polytoopin linkki on 3-polytooppi.
Linkit ovat hyödyllisimpiä yhtenäisille polytoopeille , koska kaikilla kärjeillä on sama linkki.
Ei-kuperille polyhedraille linkki voi olla myös ei-kupera. Esimerkiksi yhtenäisillä monikulmioilla voi olla kasvot stelloitujen monikulmioiden muodossa , linkit voivat olla myös tähtikuvia.
Kaksoispolyhedronin pinta on kaksoispiste vastaavan kärjen linkin kanssa.
Jos monitaho on säännöllinen, sitä voidaan kuvata Schläfli-symbolilla , kasvo- ja linkkisymbolit voidaan poimia tästä merkinnästä.
Yleisessä tapauksessa säännöllisessä monitahoisessa Schläfli-symbolilla { a , b , c ,..., y , z } on pinnat (suurin ulottuvuus) { a , b , c ,..., y } ja linkki on { b , c ,..., y , z }.
Koska säännöllisen polytoopin kaksoispolytooppi on myös säännöllinen ja se esitetään käänteisillä indekseillä Schläfli-symbolissa, on helppo ymmärtää, että kaksoisluku kärjen linkkiin on kaksoispolytoopin solu . Tavallisille polyhedraille tämä tosiasia on Dorman Luken rakenteen erikoistapaus .
Katkaistujen kuutioiden hunajakennojen kärjen linkki on heterogeeninen neliömäinen pyramidi . Yksi oktaedri ja neljä katkaistua kuutiota kunkin kärjen lähellä muodostavat spatiaalisen mosaiikin .
| Vertex-linkki : Epätasainen neliömäinen pyramidi | Schlegelin kaavio |
näkökulmasta |
| Muodostunut oktaedrin neliömäisestä pohjasta | (3.3.3.3) | |
| ja katkaistun kuution neljä tasakylkistä kolmiosivua | (3.8.8) |
Toinen linkkiin liittyvä käsite on reunalinkki . Reunalinkki on ( n − 2)-polytooppi, joka edustaa n − 1-ulotteisten pintojen järjestelyä tietyn reunan ympärillä (tietyn reunan vieressä). Reunalinkki on kärkilinkin kärkilinkki [7] . Reunalinkit ovat hyödyllisiä säännöllisten ja yhtenäisten monitahoisten elementtien välisten linkkien ilmaisemisessa.
Säännöllisillä ja yhtenäisillä polytoopeilla, jotka syntyvät yhden aktiivisen peilin heijastuksista, on yksi tyyppinen reunalinkki, mutta yleensä yhtenäisessä polytooppissa voi olla niin monta linkkiä kuin peilit ovat aktiivisia rakennettaessa, koska jokainen aktiivinen peili muodostaa reunan perusalueelle.
Säännöllisissä polyhedraissa (ja hunajakennoissa) on yksi reunalinkki , joka on myös säännöllinen. Säännöllisen polytoopin { p , q , r , s ,..., z } reunalinkki on { r , s ,..., z }.
4D-avaruudessa monitahoisen tai 3D-hunajakennon reunalinkki on monikulmio, joka edustaa pintojen järjestelyä reunan ympärillä. Esimerkiksi säännöllisen kuutiokennon { 4,3,4 } reunalinkki on neliö , kun taas säännöllisen neliulotteisen monitahoisen { p , q , r } reunalinkki olisi { r }.
On vähemmän ilmeistä, että katkaistun kuution kennon t 0,1 {4,3,4} linkkipisteenä on neliöpyramidi . Tässä on kahdenlaisia reunalinkkejä . Yksi on pyramidin yläosassa olevan reunan neliömäinen linkki, joka vastaa neljää katkaistua kuutiota reunan ympärillä. Toinen pinta on pyramidin pohjassa olevat kolmiot. Ne edustavat kahden katkaistun kuution ja oktaedrin järjestelyä muiden reunojen ympärillä.