Lipschitz-kartoitus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 10. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Lipschitz-kartoitus ( Lipschitz mapping [1] , myös -Lipschitz mapping ) on kartoitus , joka kasvattaa pisteiden kuvien välistä etäisyyttä korkeintaan kertaa, missä sitä kutsutaan annetun funktion Lipschitz-vakioksi. Nimetty Rudolf Lipschitzin mukaan . $L$ $L$ $L$

Määritelmä

Mappausta metristä avaruutta metriseen avaruuteen kutsutaan Lipschitziksi, jos on olemassa sellainen vakio ( tämän kuvauksen Lipschitzin vakio ), että mille tahansa . Tätä tilaa kutsutaan Lipschitzin tilaksi . Karttaa, jossa on (1-Lipschitz-kartta), kutsutaan myös lyhyeksi kartaksi . $f$ $(X,\;\rho _{X})$ $(Y,\;\rho _{Y})$ $L$ $\rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)$ $x,\;y\X:ssä$ $L = 1$

Lipschitz-kartoituksen sanotaan olevan bi- Lipschitz , jos sillä on käänteisarvo , joka on myös Lipschitz. $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $f^{{-1}}\kaksoispiste Y\-X$

Kuvausta kutsutaan kolipschitziksi , jos on olemassa vakio sellainen, että millä tahansa ja on olemassa sellainen, että . $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $L$ $x\in X$ $y\in Y$ $x'\in f^{{-1}}(y)$ $\rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x')$

Historia

Kartaukset omaisuuden kanssa:

|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot }|xy|^{\alpha },\quad \alpha \leqslant 1

Lipschitz piti sitä ensimmäisen kerran vuonna 1864 todellisten funktioiden osalta riittävänä edellytyksenä Fourier-sarjan konvergenssille sen funktioon. Myöhemmin tuli tapana kutsua tätä ehtoa Lipschitzin ehdoksi vain , ja - Hölderin ehdoksi . $\alpha=1$ $\alpha<1$

Ominaisuudet

Mikä tahansa Lipschitz-kartoitus on tasaisesti jatkuvaa .

Lipschitzin ja integroitavan funktion superpositio on integroitavissa.

( Lipschitz Lemma ) Jatkuvasti differentioituva funktio euklidisen avaruuden kompaktissa osajoukossa täyttää Lipschitzin ehdon. Käänteinen väite ei pidä paikkaansa.

Rademacherin lause sanoo, että mikä tahansa Lipschitzin funktio, joka on määritelty avoimelle joukolle euklidisessa avaruudessa, on differentioituva melkein kaikkialla siinä.

Kirschbrownin laajennuslause sanoo, että mikä tahansa -Lipschitz- mappaus euklidisen avaruuden osajoukosta toiseen euklidiseen avaruuteen voidaan laajentaa -Lipschitz-kuvaukseksi koko avaruuteen. $L$ $L$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Lipschitzin funktion käsite on luonnollisesti yleistetty funktioille, joilla on rajoitettu jatkuvuusmoduuli , koska Lipschitzin ehto vastaa ehtoa . $\omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta$
Hölderin eksponentti

Muistiinpanot

↑ Federer G. Geometrinen mittateoria. - 1987. - 760 s.