M-pisteet

Suurin mahdollinen todennäköisyysarvio (MLE) määräytyy jollakin seuraavista ehdoista:

\sum _{i}\ln P_{i}\to \max _{\theta \in \Theta },\qquad \sum _{i}{\frac {\partial \ln P_{i)) {\partial \theta }}=0,\qquad \sum _{i}{\frac {P_{i}'}{P_{i}}}=0

kun on kyse ryhmittämättömästä näytteestä ja ryhmitellystä näytteestä, $P_{i}=f(x_{i},\theta )$ $P_{i}=\left(\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} x\right)^ {n_{i}}$

M-arviot - joukkotuhoaseista on tietty yleistys. Ne määritellään samalla tavalla jollakin suhteista:

$\sum _{i=1}^{N}\rho (x_{i},\theta )\to \max _{\theta \in \Theta },\qquad \sum _{i=1} ^{N}\phi (x_{i},\theta )=0$

Jos asetamme substituutioon säännöllisyysehdon ja erottelemme sen suhteessa nollaan: $F_{t,x}=(1-t)F+t\Delta _{x}$ $t$

0={\frac {\partial }{\partial {t))}\int \phi (x,T(F_{t,x}))\,\mathrm {d} F_{t,x}

0=\int {\frac {\partial \phi (x,T(F_{t,x}))}{\partial \theta }}IF\,\mathrm {d} F_{t,x} +\int \phi (x,T(F_{t,x}))\,\mathrm {d} {\frac {\partial ((1-t)F+t\Delta _{x})}{\ osittainen t}}

0=IF\int {\frac {\partial \phi (x,T(F_{t,x}))}{\partial \theta }}\,\mathrm {d} F_{t,x} +\phi (x,T(F_{t,x}))

silloin ei ole vaikeaa saada vaikutusfunktion lauseke M-estimaateille : $IF={\frac {-\phi (x)}{\int \phi '_{\theta }(x)\,\mathrm {d} F))$

Tämän lausekkeen avulla voimme päätellä, että M-estimaatit vastaavat nollasta poikkeavaa vakiotekijää.

On helppo tarkistaa, että normaalin normaalijakauman lain MLE:ssä siirtoparametrin ja skaalausparametrin vaikutusfunktiot näyttävät vastaavasti: ${\mathcal {N}}(0,1)$ $IF$

IF=x,\quad IF={\frac {1}{2}}\;x^{2}-{\frac {1}{2}}

Nämä toiminnot ovat rajoittamattomia, mikä tarkoittaa, että MLE ei ole vakaa B-lujuuden suhteen.

Tämän korjaamiseksi M-estimaatit rajoittavat keinotekoisesti ja siten rajoittavat sitä (katso M-estimaattien lauseke ) asettamalla ylemmän esteen poikkeavien (kaukana parametrien odotettujen arvojen) havaintojen vaikutukselle. Tämä tehdään ottamalla käyttöön niin sanotut typistetyt M-estimaatit, jotka määritellään lausekkeella: $IF$ $IF$

$\phi _{b}(z)=\left\{{\begin{array}{lr}\phi (b),&b<z\\\phi (z),&-b<z\leqslant b\\\phi (-b),&z\leqslant -b\end{array}}\right.$

jossa , ja ovat arviot siirto- ja skaalausparametreista, vastaavasti. $z={\frac {x-\theta }{S}}$ $\theta$ $S$

Katkaistujen M-estimaattien joukossa katkaistu MLE on optimaalinen B-varmuuden kannalta.

Katso myös

Vahvuus tilastoissa

Lähteet

Robert G. Staudte: Vankka estimointi ja testaus . Wiley, New York 1990. ISBN 0-471-85547-2
Rand R. Wilcox: Johdatus luotettavaan estimointiin ja hypoteesitestaukseen . Academic Press, San Diego Cal 1997. ISBN 0-12-751545-3