Tiheysmatriisi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1.5.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Tiheysmatriisi (tiheysoperaattori, tiheysmatriisioperaattori, tilastooperaattori) on yksi tavoista kuvata kvanttimekaanisen järjestelmän tilaa. Toisin kuin aaltofunktio , joka soveltuu vain puhtaiden tilojen kuvaamiseen , tiheysoperaattori voi yhtä hyvin määritellä sekä puhdasta että sekatilaa . Tiheysoperaattorin käsitteeseen perustuvaa formalismia ehdottivat itsenäisesti L. D. Landau [1] ja J. von Neumann [2] vuonna 1927 [3] ja F. Bloch [4] vuonna 1946 .

Määritelmä

Tiheysoperaattori on ei- negatiivinen itseadjoint-operaattori , jonka yksikköjälki vaikuttaa erotettavaan Hilbert-avaruuteen . Jäljen yhtäläisyys yksikköön vastaa kokonaistodennäköisyyden yksikkönormalisointia annetussa tila-avaruudessa.

Tiheysoperaattorin vakiomerkintä on kirjain . Puhdasta tilaa vastaava tiheysoperaattori on ortogonaalinen projektori $\rho$ $|\psi \rangle ,$

\rho ^{2}=\rho ,

mikä mahdollistaa sen esittämisen muodossa

\rho =|\psi \rangle \langle \psi |

Sekoitettu tila, joka vastaa tapausta, jossa järjestelmä on jokaisessa keskenään ortogonaalisessa tilassa todennäköisyydellä , kuvataan muodon tiheysoperaattorilla $|\psi _{j}\rangle$ $p_{j}$

\rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|,

missä

\sum _{j}p_{j}=1.

Tiheysmatriisin antaman tilan havaittavan keskiarvo on operaattoreiden ja : $A$ $\rho$ $A$ $\rho$

\langle A\rangle =\operaattorinimi {Tr} (A\rho )

Sitä ei ole vaikea nähdä[ virtaviivaistettu ilmaisu ] että tavallinen sääntö puhtaiden tilojen havaittavan keskiarvon löytämiseksi on tämän kaavan erikoistapaus .

Ominaisuudet

Hamiltonin kvanttijärjestelmän tiheysoperaattorin aikaderivaata ilmaistaan kommutaattorina ja Hamiltonin yhtälönä ${\frac {\partial \rho }{\partial t))={\frac {1}{i\hbar ))[{\mathcal {H)),\rho ]$

Tätä yhtälöä kutsutaan usein Liouvillen kvanttiyhtälöksi ja von Neumannin yhtälöksi .

Tiheysmatriisin jälki on yhtä suuri kuin yksi kokonaistodennäköisyyden normalisoinnista johtuen: $\operaattorin nimi {Tr} (\rho )=1$
Tiheysmatriisin neliön jälki on yhtä suuri kuin yksi puhtaille tiloille ja on aina pienempi kuin yksi sekatiloissa: $\operaattorin nimi {Tr} (\rho ^{2})\leq 1$ ja $\operaattorin nimi {Tr} (\rho ^{2})=1\iff \exists |\psi \rangle :\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$

Sovellus

Tiheysoperaattorin käyttö tulee tarpeelliseksi, jos kvanttimekaanisen järjestelmän tilaa ei syystä tai toisesta voida pitää puhtaana. Tämä tilanne esiintyy erityisesti kvanttitilastoissa . Tässä tapauksessa tiheysoperaattori osoittautuu klassisessa tilastomekaniikassa esiintyvän vaiheavaruuden tiheysjakaumafunktion luonnolliseksi analogiksi. Lisäksi kvanttimekaaninen mittausmenettely on tulkittu siirtymäksi alkuperäisestä puhtaasta tilasta sekoitettuun tilaan. $|\psi \rangle$

\rho =\sum _{j}|e_{j}\rangle |\langle e_{j}|\psi \rangle |^{2}\langle e_{j}|

missä ovat kantavektorit, jotka vastaavat valittua täydellistä mitattujen suureiden joukkoa. $|e_{j}\rangle$

Jälkimmäinen on erikoistapaus avoimien kvanttijärjestelmien kuvauksessa , joihin kuuluu muun muassa ulkoisen havainnoinnin alaisia järjestelmiä. Yleisesti ottaen formalismi, joka kuvaa ympäristön kanssa vuorovaikutuksessa olevia avoimia järjestelmiä tiheysmatriisin avulla, on hyödyllinen dekoherenssi -ilmiön tutkimisessa , kun järjestelmän tilaa ei voida pitää puhtaana ja ilmiö itsessään johtaa järjestelmän rappeutumiseen. tiheysoperaattorin diagonaaliset matriisielementit (vuorovaikutusoperaattorin ominaisarvojen perusteella) ja vastaavasti järjestelmän siirtymiseen sekatilaan .

Puhtaat ja sekatilat

Kvanttimekaniikassa kvanttijärjestelmän tilaa voidaan kuvata tilavektorilla . Tässä tapauksessa puhutaan puhtaasta tilasta . Se on kuitenkin mahdollista myös eri tilavektoreiden tilastollisessa ryhmässä olevalle järjestelmälle: esimerkiksi 50 % todennäköisyydellä tilavektori on , ja 50 % todennäköisyydellä, että tilavektori on . Tämä järjestelmä tulee olemaan sekatilassa. Tiheysmatriisit ovat erityisen hyödyllisiä sekatiloissa, koska mikä tahansa tila, puhdas tai sekoitettu, voidaan karakterisoida tiheysmatriisilla. $|\psi \rangle$ $|\psi _{1}\rangle$ $|\psi _{2}\rangle$

Sekatila eroaa kvantti-superpositiosta. Itse asiassa puhtaan tilan kvantisuperpositio on toinen puhdas tila, esimerkiksi . Toisaalta esimerkki sekatilasta olisi , jossa on reaaliluku, joka vaihtelee satunnaisesti eri fotonien välillä. $|\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2))$ $A$ $A=(|\psi _{1}\rangle +e^{i\theta }|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2))$ $\theta$

Katso myös

Tiheysfunktionaalinen teoria

Muistiinpanot

↑ Landau L.D., Ztshr. Phys. bd. 45. S. 430 (1927) // Landau L. D. "Vaimennuksen ongelma aaltomekaniikassa" kirjassa "Landau L. D. Collection of works." Osa 1. M.: Nauka, 1969. s. 18-31.
↑ J. von Neumann , Göttingen Nachr., 247 (1927). Katso myös J. von Neumann . Kvanttimekaniikan matemaattiset perusteet, - M .: Nauka 1964.
↑ Landau esitteli tiheysmatriisin käsitteen kvanttimekaniikassa muutama kuukausi aikaisemmin kuin von Neumann, mutta von Neumann kehitti formalismin systemaattisemmin.
↑ F. Bloch , Ydininduktio. Phys. Rev. 70, 460 (1946).

Kirjallisuus

Belousov Yu. M., Man'ko V. I. Tiheysmatriisi. Esitykset ja sovellukset tilastomekaniikassa. - M .: MIPT, 2004. - 163 s.
Bloom K. Tiheysmatriisiteoria ja sen sovellukset. - M .: Mir, 1983. - 248 s.
Bondarev BV Tiheysmatriisimenetelmä yhteistoiminnallisten ilmiöiden kvanttiteoriassa. - M. : Sputnik +, 2001. - 250 s.
Boum A. Kvanttimekaniikka: perusteet ja sovellukset. - M .: Mir, 1990. - 720 s.
Landau L.D. , Lifshits E.M. Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - Painos 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa III). - ISBN 5-02-014421-5 . - § neljätoista.
Mestechkin MM Tiheysmatriisimenetelmä molekyyliteoriassa. - K . : Naukova Dumka, 1977. - 352 s.
von Neumann J. Kvanttimekaniikan matemaattiset perusteet. - M .: Nauka, 1964. - 368 s.