Kummerin menetelmä

Kummerin menetelmä - lukusarjojen teoriassa menetelmää, jolla voit korvata tietyn sarjan toisella, joka konvergoi nopeammin, ehdotti E. Kummer .

Oletetaan, että on olemassa konvergentti lukusarja ja sen summa on löydettävä annetulla tarkkuudella. Tämän sarjan konvergenssinopeuden lisäämiseksi käytetään Kummerin menetelmää, joka koostuu seuraavasta. Sarja , jonka summa tunnetaan, valitaan siten, että erotus $a_k$ ${\displaystyle b_{k))$

c_{k}=a_{k}-b_{k}=o\,(a_{k}),\;k\to \infty

Tässä tapauksessa arvo voidaan esittää summana , jossa sarja konvergoi nopeammin kuin alkuperäinen sarja, ja sarjan summa tunnetaan. Tämä tarkoittaa, että sarjan summan saamiseksi tietyllä tarkkuudella toisessa tapauksessa on tarpeen ottaa pienempi määrä sarjan termejä . ${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k))$ ${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }c_{k))$ ${\displaystyle c_{k))$ ${\displaystyle b_{k))$ ${\displaystyle c_{k))$

Esimerkiksi sarjan lähentymisnopeuden lisäämiseksi

{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2))))

voidaan käyttää lähellä

\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k(k+1)))=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\ tfrac {1}{k}}-{\tfrac {1}{k+1}}\right)=1

joiden summa on tiedossa, ja kirjoita ylös

\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2))}=1+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\ tfrac {1}{k^{2}(k+1)}}

Kummer-transformaatiota ei voi soveltaa kaikkiin alkuperäisen sarjan jäseniin, vaan vain sarjan jäseniin, tietystä paikasta alkaen. Tässä tapauksessa useat alkuperäisen sarjan jäsenet pysyvät ennallaan.

Kirjallisuus

Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. Vol. 2, s. 415.